Основно съдържание
Курс: Интегрално смятане > Раздел 5
Урок 11: Запознаване с полиноми на Тейлър и Маклорен- Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 1)
- Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 2)
- Решен пример: полином на Маклорен
- Решен пример: коефициент в полином на Маклорен
- Решен пример: коефициент в полином на Тейлър
- Полиноми на Тейлър и Маклорен
- Изобразяване на приближения на реда на Тейлър
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Изобразяване на приближения на реда на Тейлър
Смятане с приближение на eˣ с полином на Тейлър около x=3. Във видеото ще намерим първите няколко члена на подобен полином и ще го представим графично, за да видим колко близо е до eˣ. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадена ни е функцията f(х) = е^х. За да добием представа за нея, ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х. Ще изглежда горе-долу така. Това е е^х Искам да намерим
приближението на f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър. Искам да направим това
обаче не за х = 0, искам да го направим за х = 3, просто една произволна стойност. Значи ще го направим за х = 3. Това е х = 3, ето тук. Това е f(3), което
е равно на е^3. Това тук е е на трета степен. Когато развиваме реда
на Тейлър, ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията, най-доброто, което можем да направим,
е да вземем константна функция, която преминава точно през е^3. Ако правим апроксимация
от първа степен, значи имаме член от първа степен, тогава това ще бъде
допирателна. И като добавяме още
членове от по-висока степен, можем евентуално да
постигнем крива, която е все по-близка до кривата
на функцията. В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост, колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта. След всичко казано дотук,
да приложим формулата, която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео. Редът на Тейлър за функцията
f(х) = е^х представлява полином. Колко е f(с)? Ако х е равно на 3, тогава в този случай
стойността на нашето с е 3. Ако с = 3, f(3) = е^3. Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)? f'(х) е равно на е^х. Намираме производната на
е^х, която е е^х. Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х. Значи това е също и f'(х). Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х). Мога да продължа да намирам
производните на това, и ще получаваме винаги е^х. Значи f'(х) е е^х. Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново, по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна. Функцията отново е e^х. Изчисляваме за 3, и
получаваме е^3 върху 2!, по (х – 3) на втора степен. И можем да продължим. Третата производна е
отново e^x. Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3. Получаваме е^3 върху 3! по (х – 3)^3. Можем да продължим по
същия начин, но смятам, че разбираш
принципа. Но това, което е още
по-интересно от простото развиване
на полинома, е да видим, че като добавяме
още и още членове, той започва да се приближава
все по-добре до е^х. Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч от точката х = 3. За да видим това, аз използвах
инструмента WolframAlpha, който е на сайта wolframalpha.com. Мисля, че въведох ред
на Тейлър за функцията е^х за х = 3. Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде всичко това ето тук. И всъщност изчисли реда на Тейлър. Можеш да видиш, че
е идентичен с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3). Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2. Те всъщност са
изчислили факториела. Вместо 3! са написали 6. И тук са дали много членове. Но това, което е още
по-интересно, е че те са начертали всеки от тези полиноми
с все повече и повече членове. В оранжево имаме е^х. Това е f(х) = е^х. После ни казват: степен
на апроксимация, показана с n на брой точки. Значи степента на апроксимация, това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен, това е буквално –
полином от първа степен са тези два члена ето тук. Понеже това е нулева степен,
това е първа степен. Имаме х^1 ето тук. Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином, тук е кодирано с една точка. Това е тази крива,
с една точка, ето тук, поставили я са точно ето тук. Виждаме, че това е просто
една допирателна права за х = 3. Това тук е х = 3,
това е допирателна права. Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен, защото добавяме х^2. Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен, и после ще имаме
друг член, съдържащ х, но степента на полинома
сега е втора степен. Да видим сега крива с две точки. Трябва да е ето тази. Да видим, две точки. Тук има една, две точки. Имаме две точки, идва насам. Графиката е парабола. Това е полином от втора
степен, който после идва ето така. Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3, по-близко е до
графиката на функцията. Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго. Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят, който не съм използвал досега. Добавяме нов член и става
полином от трета степен. Ако комбинираме тези, ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем, да потърсим тук
кривата с три точки. Една, две, три. Това е тази крива. На полином от трета степен
съответства тази крива ето тук. Забележи, че тази крива
започва да се приближава към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен. И я следва малко по-дълго. И се получава ето това. Добавяме още един член от
четвърта степен. Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук. Ако това е нашият полином, сега съответстващата му
крива е ето тази. Забележи, че всеки път,
когато добавяме член, приближението става
все по-точно и по-точно спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3. И ако добавим още един член,
получаваме този полином. Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш, че се приближаваме все повече и повече,
колкото повече членове добавяме. Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение, което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.