Проекции в подпространства с ортонормални базиси

В последното видео видяхме, че ортонормалният базис определя добри координатни системи, такива координатни системи, в които е лесно да се намират координатите. Това беше темата на предходното видео. Сега да видим дали има и други причини да използваме ортонормален базис. Вече знаем... нека да имаме някакво подпространство V. Нека V е подпространство на Rn. И нека да имаме един ортонормален базис В. B е равен на v1, v2... vk. В е ортонормален базис на V, което е просто по-специален начин да кажем, че всички тези вектори имат дължина 1, както и че те са ортогонални помежду си. Досега сме виждали много пъти, че ако имаме някакъв член на Rn... Нека имаме някакъв вектор х, който принадлежи на Rn, като вектор х може да се представи като сума от някакъв вектор v, който принадлежи на подпространството V, и някакъв вектор w, който принадлежи на ортогоналното допълнение на нашето подпространство. Ще запиша това. Нека вектор v да принадлежи на нашето подпространство, а вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение на нашето подпространство V. Видяхме това в една цяла поредица от клипове, посветени на ортогоналните допълнения. Какво представлява това? Какво е това нещо ето тук? По определение, това е проекцията на вектор х във V. А това би било проекцията на вектор х в ортогоналното допълнение на подпространството V. Знаем вече, че това не е лесно да се определи. Да кажем, че конструираме някаква матрица А, чиито стълбове представляват нашите базисни вектори – ако конструираме някаква матрица А, която е равна на [v1; v2...vk], ние учихме преди, че ако искаме да определим – ние имаме обобщен метод за намиране на проекцията – учихме, че проекцията на произволен вектор х във V е равна на произведението А по обратната матрица на (А транспонирана по А), по А, по х. (Сал греши, последната матрица А е транспонирана; Сал се поправя в 9:05) Този начин за определяне на проекцията беше много трудоемък. Да видим дали допускането, че тези вектори са ортонормални, или че това е едно ортонормално множество, дали това допускане опростява този процес. Най-напред можем просто да помислим. Този вектор v принадлежи на нашето подпространство, което означава, че може да се представи като линейна комбинация на базисните вектори. Мога да запиша, че вектор х е равен на – вместо v мога да запиша с1 по v1, плюс с2 по v2, и така нататък, до ck по vk. Това е просто един уникален член на нашето подпространство V. Значи това е този вектор v, като можем също така да разглеждаме това като проекцията на вектор х в подпространството V. Значи вектор х може да се представи като някакъв член на V, а после плюс някакъв член на ортогоналното допълнение на V, плюс вектор w. Какво ще стане, ако умножа скаларно двете страни на уравнението, ако ги умножим по един от тези елементи, например по vi? Да умножим скаларно двете страни на това уравнение по vi. Ако умножим скаларно vi . х, или по i-ия базисен вектор ето тук, по i-ия базисен вектор в базиса В на нашето подпространство, какво ще получим? Това ще е равно на с1 по vi . v1, плюс с2 по vi . v2, плюс... и така нататък. Евентуално ще получим i-ия член, който ще бъде ci по vi . vi. После, ако i е равно на 1, 2... k, евентуално ще получим ck по vi . vk. Видяхме това в предишното видео. Просто умножаваме скаларно двете страни на уравнението. Но ние също така имаме този член w тук. Значи после ще имаме плюс скаларното произведение vi . w. Искам само да поясня, че в последното видео допуснахме, че вектор х лежи в подпространството, така че вектор х може да се представи с координати в него. Сега вектор х е произволен член на Rn, и ние търсим просто проекцията на вектор х. Тъй като е произволен член, той ще е равен на някаква комбинация от тези базисни вектори плюс някакъв вектор, който принадлежи на ортогоналното допълнение на базиса В. Когато умножим скаларно някой произволен базисен вектор по i-ия базисен вектор, от двете страни на това уравнение, тази страна е просто това, но в дясната страна се случва нещо много подобно на това, което видяхме в предишното видео. Колко е скаларното произведение vi .v1? Те са различни членове на това ортонормално множество, значи са ортогонални помежду си. Значи това произведение е нула, vi . v2 също е 0, ако i не е равно на 2. Скаларното произведение vi . vi е равно на 1. Значи този член става просто сi, а vi . vk също е нула. Няма значение какви са константите, защото всяко число, умножено по 0, дава 0. А какво представлява скаларното произведение vi . w? По определение вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение на подпространството V, което означава, че той е ортогонален на всеки вектор, който принадлежи на V. Понеже вектор vi принадлежи на V, векторите vi и w са ортогонални помежду си. Значи това произведение също е равно на 0. Така получаваме ci равно на vi по xi. Извинявам се, тук е само х. Какво означава това? Този резултат е много подобен на това, което получихме миналия път. Но, спомни си, ние не търсим – ние не допускаме, че вектор х принадлежи на подпространството V. Тогава, както се досещаш, ci ще са координати на вектор х. В този случай ние търсим проекцията на вектор х във V, или член на V, който е един вид компонент на вектор х във V, или който представя проекцията на вектор х във V. Искаме да намерим проекцията на вектор х във V и тя е равна на ci по съответните базисни вектори, като сега ние знаем колко е ci. То е този базисен вектор по нашия вектор х. И ето така получихме един лесен начин да определим проекцията в едно подпространство с ортонормален базис. Да видим, с1 е просто скаларното произведение (v1 . х). Това е с1, което после ще умножим по вектор v1. Това също е вектор. После следващият, ако мога да се изразя така, следващият коефициент на v2 ще бъде скаларното произведение (v2 . х) по вектор v2. И продължаваме по същия начин до плюс (vk . x) по vk. Не знам дали си спомняш какво направихме, когато определяхме проекцията на вектор х върху дадена права. Когато намирахме проекцията на вектор х върху някаква права, като правата L е равна на линейната обвивка на някакъв единичен вектор, който има дължина 1. Разбираш, за произволно реално число t, това е просто права, сумата от линейната обвивка на някакви единичен вектор, като приемаме, че този вектор има дължина 1. После проекцията върху права се опрости до формулата х ....ще го запиша по следния начин – скаларното произведение (х . u) по вектор u. Това е проекцията върху права. Обърни внимание, че тук имаме ортонормален базис на подпространството, когато намираме проекцията на произволен вектор от Rn в това подпространство, това на практика е просто определяне на проекцията върху права, която е линейната обвивка на всеки от тези вектори, нали? (х . v1) по вектор v1. Получаваме проекцията на вектор х върху правата, която е линейна обвивка на всеки от тези вектори. Ето това е всичко. Но очевидно това е един много, много по-лесен начин за намиране на проекцията, отколкото чрез тази сложна формула А по обратната на А транспонирана по А, по А транспонирана... забравих това А транспонирана, когато я записах по-рано в клипа – по вектор х. Това определено е доста по-лесно. Но може да кажеш: "Да, това е по-лесно, но ти ми каза, че проекцията е линейна трансформация. Каза ми, че тя е линейна трансформация, така че искам да намеря нейната матрица." Да видим дали това, че това е ортонормален базис по някакъв начин прави това по-лесно. Разбира се, винаги можем просто да намерим проекцията на някакъв конкретен вектор х, можем просто да умножим скаларно всеки от базисните вектори, това ще са коефициентите, а после да умножим тези коефициенти по базисните вектори, да ги съберем и ще получим проекцията. Но, както се досещаш, някой може просто да иска да определи трансформационната матрица. Хайде да я намерим. Само ще препиша това, което вече знаем. Вече знаем, че проекцията на вектор х в някакво произволно подпространство V е равна на А по обратната матрица на (А транспонирана по А), по А, по вектор х. (Сал пак забравя, че последната матрица А е транспонирана). Тук вектор-стълбовете на А са базисните вектори v1, v2... vk. Да видим дали допускането, че тези вектори формират ортонормален базис може да ни улесни. Да разгледаме по-конкретно произведението А транспонирана по А. На какво е равно произведението А транспонирана по А? То е равно на А транспонирана... Да помислим. Тези матрици принадлежат на Rn, значи това е матрица n x k. Тази матрица е n x k, а тази матрица тук е k x n, умножаваме я по матрица n x k. Произведението им ще е матрица k x k. Матрица k x n по матрица n x k дава матрица k x k. Произведението А транспонирана по А е матрица k x k. И на какво е равна матрицата А транспонирана? Всеки от тези вектор-стълбове ще стане вектор-ред. Първият ред ще бъде v1 транспониран. Вторият стълб ще стане v2 транспониран. И продължаваме така надолу. k-ият стълб ще бъде vk транспониран. Ето така. Матрицата А е ето това тук. Матрицата А изглежда ето така. Имаме v1, ето така... после v2, и продължаваме така до vk, ето така. Какво ще бъде произведението на тези две матрици? Да намерим няколко реда. Когато умножаваме матрицата А транспонирана по матрицата А, получаваме матрица k x k. Ще направя голяма скоба, за да мога да обясня нещата добре. Кое е произведението първи ред по първи стълб? Това е скаларното произведение на този ред по този стълб, v1 . v1. Скаларното произведение v1 . v1 е просто 1. Кои са вторият ред и вторият стълб? Това е v2. Взимаме реда от тази матрица и стълба от тази матрица. Скаларното произведение на този ред по този стълб, значи v2 . v2, това е добре. Това е равно на 1. По принцип, ако намираш Aii, или ако намираш нещо по диагонала, тогава ще имаме i-ия ред по i-ия стълб. Значи ще получим единици надолу по диагонала. А останалите елементи? Да кажем, че ни интересува този елемент ето тук, който е първият ред по втория стълб. Това ето тук е скаларното произведение на v2... Това е скаларното произведение на този ред... о, извинявам се. Скаларното произведение на v1 ще бъде скаларното произведение на този ред с този стълб ето тук. Значи това ще бъде v1 . v2. Но тези два вектора са ортогонални, така че на какво ще е равно тяхното скаларно произведение? То ще е равно на 0. Това тук ще бъде v1 . v3. Това също ще е нула. Скаларното произведение на v1 и всеки вектор, който е различен от v1, е равно на нула. По същия начин, всичко във втория ред ще бъде v2 по... Първият стълб във втория ред ще бъде v2 . v1. Това очевидно е нула. После имаме v2 . v2, което е равно на 1. После скаларното произведение на v2 с всички други вектори дава 0. Те всички са ортогонални помежду си. Значи всяко скаларно произведение, когато редът и стълбът не са еднакви... Ако редът и стълбът са еднакви, скаларното произведение на даден вектор със самия него дава 1, защото дължините на всички тях са равни на 1. Но ако редът и стълбът не са еднакви, тогава това е скаларно произведение на различни членове на нашия ортонормален базис. Те всички са ортогонални помежду си, така че ще получим само 0. А каква е тази матрица? Тук имаме 0 навсякъде и 1 надолу по диагонала. Това е матрица k x k. Това е единичната матрица за Rk. Ако просто приемем... Принципно това е нашето определение. Това беше нашето определение, или това е нашият начин да определим трансформационната матрица за проекцията на вектор х в някакво подпространство. Ако просто приемем, че имаме ортонормален базис, тогава произведението А транспонирана по А дава единичната матрица k x k. А коя е обратната матрица на една единична матрица? Значи (А транспонирана по А)^(–1) е обратната матрица на единична матрица k x k, което е просто единичната матрица k x k. Така това се опростява до проекцията на вектор х във V, опростява се до А по обратната на единичната матрица – това е просто единичната матрица. Значи това е просто А по Ik, по А транспонирана... винаги забравям втората А транспонирана ето тук – по вектор х. Можем просто да игнорираме това. Това не прави нищо. Значи е равно на А по А транспонирана, по вектор х, което е сериозно опростяване. Пак трябва да умножаваме матрица с матрица, но намирането на транспонираната на една матрица е далеч по-лесно. Просто превръщаме стълбовете в редове. Първо умножаваме транспонираната матрица по А, което е доста работа. Но намирането на обратната матрица е много трудоемко. Сега, след като допуснахме, че тези стълбове тук образуват ортонормално множество, това просто се съкрати до единичната матрица. И проекцията на вектор х във V е равно на А по А транспонирана, където А е матрица, в която всички вектор-стълбове са базисните вектори на нашето подпространство V. Надявам се, че сега оценяваш още повече ортонормалните базиси.