Пример за процеса на Грам-Шмит

В предишния урок намерихме метод за създаване на ортонормален базис което не е някакво ново откритие. Това е т.нар. метод на Грам-Шмид. Сега да го приложим към няколко контректни примери, и се надявам, че ще видиш, че той всъщност е много по-практичен, отколкото изглеждаше в предишното видео. Нека е дадена равнината х1 + х2 + х3 = 0. Това е равнина в R3. Нека подпространството V да е равно на равнината, определена от това уравнение х1 + х2 + х3 = 0. Всички вектори в това подпространство, ако съберем техните елементи, ще дадат нула. Първо да намерим базис на подпространството V, да видим можем ли да намерим такъв. Ако извадим х2 и х3 от двете страни на уравнението, ще получим х1 = –х2 – х3. Можем да кажем, че подпространството V е равно на множеството от всички вектори в R3... [х1; х2; х3] – които удовлетворяват това уравнение, да кажем минус... ще го запиша по следния начин. Нека х2 да е равно на с1, а х3 да е равно на с2. Тогава уравнението става х1 = –с1 – с2. Ако го запишем по този начин, тогава подпространството V е множеството от всички вектори в R3, такива че с1 по някакъв вектор – ще запиша това по този начин – с1 по... ще го запиша така – плюс с2 по някакъв друг вектор, където с1 и с2 са произволни реални числа, значи с1 и с2 принадлежат на множеството на реалните числа. И колко е вектор х1? х1 е равно на –с1 –с2. Значи х1 е равно на –1 по с1 –1 по с2. х2 е равно просто на с1. Значи х2 е равно на 1 по с1 плюс 0 по с2. После х3 е равно на с2, значи е 0 по с1 плюс 1 по с2. Подпространството V е линейната обвивка на тези два вектора – [-1; 1; 0] и [-1; 0; 1], V е всички линейни комбинации на тези два вектора. Това ще представлява тази равнина. Ще го запиша по следния начин. Значи подпространството V е равно на линейната обвивка на вектор [–1;1;0] и вектор [–1;0;1]. Можеш да видиш, че тези вектори са линейно независими. Очевидно, няма линейна комбинация на този вектор, при която тук да се получи 1, нито има линейна комбинация на този вектор, която да даде 1 ето тук. Значи това представлява подпространството V. Но ние искаме, и точно затова правя това видео, искаме да намерим ортонормален базис на подпространството V. Това е просто базис. Тези вектори тук са базис на подпространството V. Сега да намерим ортонормален базис на подпространството V. Нека означим този вектор тук вектор v1, а този вектор тук нека да е вектор v2. За да намерим ортонормален базис на линейната обвивка на v1... ще запиша това. Ще дефинирам някакво подпространство V1, което е равно на линейната обвивка на моя вектор v1. В последното видео видяхме, че ако просто разделим v1 на дължината му, тогава линейната обвивка на този вектор ще бъде единичният вектор, което ще е равно на подпространството V1. Това ще бъде права в R3. Да го направим. Колко е дължината на вектор v1? Дължината на вектор v1 е равна на квадратен корен от (–1)^2, което е 1, плюс 1^2, което е 1, плюс 0^2, което е 0, така че това е равно на квадратен корен от 2. Сега да дефинираме някакъв вектор u1, равен на 1, делено на дължината на v1, значи 1 върху корен квадратен от 2, по вектор v1, т.е. по [–1;1;0]. Това е линейната обвивка на вектор v1, която е същото като линейната обвивка на вектор u1. И това ще бъде един ортонормален базис. Просто този вектор тук ще е ортонормален базис само за линейната обвивка на вектор v1. Но ние не търсим само линейната обвивка на вектор v1, ние търсим линейната обвивка на векторите v1и v2. Ще го начертая. Ето тук имаме базис, ако просто вземем вектор u1. Всъщност няма за начертая как действително изглежда това. Може би той изглежда ето така, и линейната обвивка на този вектор е цялата права в R3. Линейната обвивка само на един вектор в Rn представлява всички мащабирани версии на вектора или права в Rn. Значи това тук е подпространството v1. Тук имаме вектор v2, който е линейно независим от v1, което означава, че е линейно независим от този вектор, защото той е просто негова мащабирана версия. Значи вектор v2 ще изглежда ето така. Това тук е вектор v2. Това е вектор u1. Сега искаме да намерим подпространството V... засега ще го нарека V2. V2 е равно на линейната обвивка на векторите v1 и v2, която е същото нещо като линейната обвивка – линейната обвивка на вектор v1 е линейна обвивка и на вектор u1 – значи линейната обвивка на вектор u1 и вектор v2. Искаме да видим какво може да се получи от линейните комбинации на вектор u1 и вектор v2. Очевидно, това ето тук е нашата равнина, за която говорим. Линейната обвивка на тези два вектора е цялото подпространство, което разглеждаме в тази задача. Значи това е равно на V. След като установихме това, ако намерим ортонормалната версия на тази линейна обвивка ще сме решили задачата. Как можем да я намерим? Ако намерим един вектор, който е ортогонален на всички линейни комбинации на тези, тогава ако съберем някоя линейна комбинация на това и този вектор, ще получим v2, можем да заместим v2 с този вектор. Можем да наречем този вектор ето тук вектор y2, нали? Ако намерим вектор у2, той определено ще е ортогонален на всичко ето тук, и можем да вземем някакъв вектор във V1, от тази права, който да съберем с вектор у2, и да получим v2. Значи комбинацията на тези вектори ще ни даде v2. Това ще е равно на линейната обвивка на векторите u1 и у2. А на какво е равен вектор у2? Видяхме в предишното видео, че това е просто проекцията на вектор v2. Този вектор ето тук е проекцията на вектор v2 в подпространството V1. А как да разберем на какво... на какво ще е равен вектор у2? у2 ще бъде вектор v2 минус това. Значи у2 е равен на v2 минус проекцията на v2 във V1. Ако го запишем, това на какво ще е равно? Това ще бъде равно на... v2 е този вектор ето тук. Значи това е [–1;0;1]. Това е вектор v2. Вектор v2 минус проекцията на v2 във V1. Проекцията на вектор v2 в подпространството V1 е просто скаларното произведение на вектор v2, [–1;0;1], и ортонормалния базис на подпространството v1. Ортонормалният базис на подпространството V1 е просто вектор u1. Тук горе намерихме вектор u1, така че ще бъде скаларното произведение на това с 1 върху корен квадратен от 2 по... ще направя това в жълто, просто за да видиш, че това е вектор u1. Скаларното произведение с вектор u1, така че умножаваме скаларно по 1 върху корен квадратен от 2 по [–1;1;0] – предпочитам да оставя 1 върху квадратен корен от 2 ето тук, просто за да не усложнявам нещата – всичко това делено на... всъщност не е делено на нищо. Защото, когато правим проекция на една права, това ще бъде делено на скаларното произведение на ортонормалния базис със самия него, но неговата дължина е 1, така че това е излишно, и това вече сме го виждали. Но всъщност ще го запиша. Просто ще го преместя надолу. Да видим мога ли да го преместя. Това е равно на това, нали? Ще направя числата по-ясни. Това е вектор v2 минус проекцията на v2 в подпространството V1. Това е просто скаларното произведение на v2 с ортонормалния базис на V1, моят първи вектор в ортонормалния базис. Има само един, затова тук ще имам един член, а после всичко това умножено по ортонормалния базисен вектор за v1. Значи 1 върху квадратен корен от 2 по вектор [–1;1;0]. Това изглежда много специално. Тази част тук е ортонормалният базис за подпространството V1, а как ще се опрости тази част? Това ще бъде равно на... спомни си, това ето тук, тази част тук, това е проекцията на вектор v2 в подпространството V1. Ето това е това тук. Значи това ще е равно на вектор [–1;0;1] минус... мога да изнеса 1 върху корен квадратен от 2. Всъщност мога да изнеса и двете извън скобите. Значи 1 върху корен квадратен от 2 по 1 върху корен квадратен от 2, това е просто 1/2, нали? Значи това е –1/2 по скаларното произведение на тези два вектора. Ще го запиша по следния начин. Какво представлява скаларното произведение на тези два вектора? То ще бъде просто едно число. –1 по –1 е 1, плюс 0 по 1, значи плюс 0, плюс 1 по 0, значи плюс 0. Всичко това по... вече използвахме тази част, така че имаме просто тази част отляво върху... по вектор [–1;1;0]. Това е скаларно произведение, и ние изнесохме двата мащабиращи коефициента. Когато ги умножихме, получихме 1/2, така че това ще бъде просто 1, което опростява нещата. Значи това е равно на вектор [–1; 0;1] минус 1/2 по това, или можем просто да запишем... 1/2 по (–1) е –(1/2). Имаме 1/2 и после имаме 0. Значи това ще е равно на –1, минус –1/2. Това е плюс 1/2, което дава просто –(1/2). 0 минус 1/2 е –(1/2). После 1 минус 0 е просто 1. Значи това тук е нашият вектор у2. Ако комбинираме вектор u1 тук и вектор у2, получаваме линейната обвивка на подпространството V. Но ние още нямаме ортонормален базис. Тези вектори са ортогонални един спрямо друг, но този вектор все още няма дължина 1. За да направим дължината му 1, трябва да го заместим... Да дефинираме друг вектор u2, който е равен на 1 върху дължината на у2 по у2. Колко е дължината на у2? Дължината на у2 е равна на квадратен корен от (–1/2)^2, (–1/2)^2 е 1/4, още веднъж плюс 1/4; плюс 1^2, което е 1. Това е корен квадратен от 1 и 1/2, или от 3/2. Значи е равно на корен квадратен от 3/2, нали? Да, това е 1/2 плюс 1, което е 1 и 1/2 или 3/2. Значи е равно на корен квадратен от 3/2. Ако дефинираме u2 да е равно на 1 върху корен квадратен от 3/2, това е равно на корен квадратен от 2/3 по у2, което е ето това тук, [–1/2; –1/2; 1]. Тук вече съм дефинирал вектор u1. Вектор u1 е ето тук. Ще го копирам и ще го поставя. Всъщност, може да го сваля надолу. Значи тук намерих вектор u1. Сега имаме два вектора, които са ортогонални помежду си. Множеството от векторите u1 и u2, като те и двата имат дължина 1, те са ортогонални помежду си и са базисни вектори за подпространството V. Значи това е ортонормален базис за равнината от началото на видеото – равнината V. И сме готови. Приложихме метода на Грам-Шмид. Това са новите ни ортонормални базисни вектори.