Ортонормален базис

Нека е дадено някакво множество от вектори. Да го наречем множеството В. Нека то съдържа векторите v1, v2... и т.н. до vk. Но нека това да не е обикновено множество от вектори. Има интересни неща, свързани с тези вектори. Първото нещо е, че всички тези вектори имат дължина 1. Нека дължината на вектор vi да е равна на 1 за i между 1 и k, значи i е равно на 1, 2 и т.н. до k. Всички тези вектори имат дължина 1. Друг начин да го формулираме, е, че повдигнатите на квадрат дължини на векторите са равни на 1. Дължината, повдигната на квадрат, на вектор vi е равен на 1. Или скаларното произведение на вектор vi по vi е 1 за всяко i в този интервал, всяко произволно i, което може да е 1, 2, 3 и т.н. до k. Това е първото интересно нещо. Ще го запиша с обикновени думи. Всички вектори в множеството В имат дължина 1. Казано по друг начин, всички тези вектори са нормализирани. Това е друг начин да изкажем това – че всички тези вектори са нормализирани. Или че те са единични вектори. Нормализирани вектори са тези вектори, чиято дължина е направена да е равна на 1, превърнати са в единични вектори. Всички те са нормализирани. Това е първото интересно нещо за нашето множество В. Следващото интересно нещо за множеството В е, че всички вектори са ортогонални помежду си. Ако умножим скаларно някой вектор по самия него, ще получим дължина 1. Но ако умножим скаларно един вектор по произволен друг вектор – ако умножим скаларно вектор vi по друг вектор vj, ако умножим скаларно вектор v2 по вектор v1, тогава ще получим 0, когато i не е равно на j. Всички тези вектори са ортогонални помежду си. Ще го запиша. Всички тези вектори са ортогонални помежду си. Но не са ортогонални на самите себе си, защото имат дължина 1, така че ако умножим скаларно един вектор по самия него, получаваме 1. Ако го умножим по друг вектор от множеството обаче, тогава получаваме 0. Мога да го запиша и по следния начин. Скаларното произведение на векторите vi по vj, които принадлежат на множеството, е равно на нула, когато i не е равно на j. Обаче ако тези вектори са един и същ вектор – умножавам го скаларно по самия него – ще получим дължина единица. Значи скаларното произведение е равно на 1, когато i = j. Това е много специално множество вектори. Всички тези вектори имат дължина 1 и всички те са ортогонални помежду си. Те са нормализирани и са ортогонални помежду си. И за това множество има специален термин. Това се нарича ортонормално множество. Значи множеството В е ортонормално множество. Нормално от нормализиране. Всички вектори в него са ортогонални помежду си. Всички тези вектори са ортогонални един на друг. И всички вектори са нормализирани. Всички вектори имат дължина 1. Първото интересно нещо за ортонормалното множество е че то в същото време е линейно независимо множество. Ако множеството В е ортонормално, то също така е и линейно независимо. Как мога да докажа това? Да приемем, че множеството не е линейно независимо. Да вземем векторите vi и vj, които принадлежат на нашето множество. Да приемем, че i не е равно на j. Ние вече знаем, че това е ортонормално множество. Значи скаларното произведение на вектор vi по vj е равно на 0. Те са ортогонални помежду си. Това са два вектора от нашето множество. Да приемем, че тези вектори са линейно зависими. Искам да докажа, че те са линейно независими, и за да докажа това твърдение, допускам, че та са линейно зависими, и така ще стигна до противоречие. Да приемем, че vi и vj са линейно зависими. Това означава, че мога да представя единия от тези вектори като мащабирана версия на другия вектор. Мога да избера който и да е от тях. Да кажем, просто заради логиката на доказателството, че можем да представим вектор vi – да кажем, че вектор vi е равен на някакъв скалар с по вектор vj. Това означава линейно зависими вектори. Че единият вектор може да бъде представен като мащабирана версия на другия вектор. Ако това е вярно, тогава мога просто да заместя този израз вместо vi. Какво ще получа? Получавам с по vj... това е просто друг начин да представим вектор vi, защото приехме, че векторите са линейно зависими. Тогава вектор (c по vj), умножен скаларно по вектор vj, трябва да е равно на 0. с по vj е равно на vi. Това е вектор vj. Те са ортогонални помежду си. Но това тук просто е равно на скаларното произведение на c по vj по vj, което е равно на с по дължината на вектор vj на квадрат. И това произведение трябва да е нула. Векторите са ортогонални, значи произведението трябва да е нула. Което означава, че дължината на вектор vj трябва да е равна на 0. Ако приемем, че това е мащабирана версия, която не е нула, това трябва да е мащабирана версия, която е различна от нула – трябваше да го напиша – с не е равно на 0. Защо тази мащабирана версия трябва да е различна от нула? Защото и двата вектора са различни от нула. Този вектор не е 0. Значи и този вектор не е 0. Този вектор има дължина 1. Ако този вектор не е нула, тогава няма начин тук да имаме множител нула. Защото ако тук е 0, тогава получаваме нулев вектор. Но векторът не може да е 0. Щом с не е 0, тогава този множител тук трябва да е нула. Така получаваме, че дължината на вектор vj е 0. Което знаем, че не е вярно. Дължината на вектор vj е 1. Това е ортонормално множество. Дължината на всички членове на множеството В е 1. Така стигнахме до противоречие. Това е нашето противоречие. Вектор vj не е нулев вектор. Той има дължина 1. Противочерие. Ако имаме някакви вектори, които са ортогонални помежду си и различни от нула, те трябва да са линейно независими. Което е много интересно. Ако имаме това множество, това ортонормално множество, то също така е множество от линейно независими вектори, така че то трябва да е базис на подпространство. Да кажем, че множеството В е базис на някакво подпространство V. Можем да кажем, че V е равно на линейната обвивка на векторите v1, v2... vk. Тогава можем да наречем множеството В – ако това е просто някакво множество, можем да го наречем ортонормално множество, но то може да бъде и ортонормален базис, когато е базис на някакво подпространство. Затова можем да напишем, че множеството В е ортонормален базис на V. Всичко дотук е много абстрактно, но сега ще направя набързо няколко примера, само за да разбереш какво е ортонормален базис с реални числа. Нека да имаме два вектора. Нека имаме вектор v1, който... нека да сме в R3, така че той е [1/3; 2/3; 2/3]. Нека имаме друг вектор, v2, който е равен на [2/3; 1/3;–2/3]. Нека В да е множеството, което съдържа v1 и v2. Първият въпрос е какви са дължините на тези вектори? Да пресметнем дължините им. Дължината на v1 на квадрат е равна на скаларното произведение v1.v1. Което е (1/3)^2, което е просто 1/9. Плюс (2/3)^2, което е 4/9. Плюс (2/3)^2, което е 4/9. Квадрата на дължината на вектора е 1. Щом дължината на квадрат е равна на 1, това означава, че дължината на нашия вектор е равна на 1. Ако дължината на вектора на квадрат е 1, когато коренуваме, дължината е равно на 1. А вектор v2? Дължината на квадрат на вектор v2 е равна на скаларното произведение v2.v2. Това е равно на... да видим, (2/3)^2 е 4/9... плюс (1/3)^2 е 1/9. Плюс (2/3)^2 е 4/9. Това е 9/9, което е 1. Това означава, че дължината на вектор v2 е равна на 1. Следователно тези вектори определено са нормализирани. Наричаме такова множество нормализирано. Но дали множеството е ортонормално? Дали тези два вектора са ортогонални помежду си? За да проверим, просто трябва да намерим скаларното им произведение. Значи v1 по v2 е равно на 1/3 по 2/3, което е 2/9. Плюс 2/3 по 1/3, което е 2/9. Плюс 2/3 по –2/3. Това е –4/9. 2 плюс 2, минус 4 е 0. Значи скаларното им произведение е нула. Значи тези два вектора са ортогонални. Значи множеството В е ортонормално множество. И ако имаме някакво подпространство, нека В да е равно на линейната обвивка на векторите v1 и v2, тогава това множество е базис на V, или множеството В е ортонормален базис на V.