Представяне на вектори в Rn чрез вектори в подпространството му

Дадено е подпространството V, което е подмножество на Rn. Дадено е също и неговото ортогонално доплънение, което записваме като V перп. То също е подмножество на Rn. Преди няколко урока или може би в последния урок, ако си спомням добре, учихме, че размерът на V плюс размера на ортогоналното допълнение на V, което е друго подпространство, този сбор е равен на n. Спомни си, че размерът е просто броят на линейно независимите вектори, които образуват базис на V. Размерът тук е броят на линейно независимите вектори, които образуват базис на ортогоналното допълнение на V. Като знаем това, да видим дали можем да намерим други интересни зависимости между тези подпространства или как са свързани с всички други вектори в Rn. Първият въпрос е дали тези две подпространства имат нещо общо помежду си. Има ли вектори, които са общи за тези две подпространства. За да проверим дали има такъв вектор, да допуснем, че такъв съществува, и да видим какви свойства трябва да има този вектор. Да предположим ето тук, че съществува някакъв вектор х, който принадлежи на подмножеството V. Да допуснем също, че вектор х принадлежи и на ортогоналното допълнение на V. Какво означава второто твърдение? То означава, че скаларното произведение на векторите х . v за произволен вектор v, който принадлежи на подпространството V ще бъде равно на 0. Ще го запиша по следния начин. x . v = 0 за всеки вектор v, който принадлежи на нашето подпространството. Ето това означава векторът да принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Сега да допуснем, че вектор х също така принадлежи и на V. Това означава, че можем да поставим вектор х и тука. Това е произволен член на V. Вектор х принадлежи също и на V. Това означава, че скаларното произведение х . х = 0. Друг начин да запишем това е, че дължината на х^2 е нула. Или дължината на вектор х е равна на 0. Това е вярно само за един единствен вектор. Можеш даже да провериш, като заместиш с различни примери за вектор х. Единственият вектор, за който това е изпълнено, е нулевият вектор. Значи вектор х трябва да е равен на нулевия вектор. Това е единственият вектор в Rn, който умножен по себе си дава нула, или чиято дължина на квадрат е равна на нула. Показвали сме това преди доста време. Това ни казва, че сечението между V и ортогоналното допълнение на V – тази обърната буква U означава просто сечение, означава къде се припокриват тези две множества – единственото място на припокриване е подмножеството на нулевия вектор. Мога да начертая Rn по този начин. Да кажем, че това е Rn. Ще начертая подпространството V. Ще начертая и ортогоналното допълнение на V. Това са всички тези вектори ето тук. Това тук е ортогоналното допълнение на V. Това е V перп. Това са всички вектори, които при скаларното им умножение с произволен вектор от тук ще дадат нула. Значи това е V перп. Сечението, тяхното припокриване, е единственият вектор, който принадлежи и на двете множества, и това е нулевият вектор. Това е единственото им пресичане. Добре. Единственият вектор, който принадлежи на едно подпространство и на неговото ортогонално допълнение е нулевият вектор. Тук няма нищо специално. Да видим можем ли да намерим и други интересни връзки между едно подпространство и неговото ортогонално допълнение. Да вземем някакви произволни вектори в Rn. Ще запиша просто – да кажем, че размерът на нашето подпространство V е равен на k. Ако е равен на k, тогава неговият размер плюс размера на ортогоналното му допълнение трябва да е равен на n, защото тук сме в Rn. V е подмножество на Rn. Знаем още, че ортогоналното допълнение на V е подмножество на Rn, както го начертах ето тук. Размерът на V е равен на k. Това тук е k. А какъв е размерът на ортогоналното допълнение на V? Когато съберем размерите – написах го ето тук – сборът им е равен на n. Значи размерът на това подпространство ще е (n – k). Това трябва да е k тук. Размерът тук е k, а размерът тук е (n – k), и когато ги съберем, k плюс (n – k) е равно на n. Значи размерът тук е (n – k). Но какво означава този размер? Това представлява броя на линейно независимите вектори, които са нужни за образуване на базис. В базиса на V имаме k вектора. Имаме v1, v2... vk. Това е базисът на V, което означава, че те са линейно независими. Тяхната линейна обвивка е V. Всеки член на V ето тук може да бъде представен като линейна комбинация на тези вектори. Размерът на ортогоналното допълнение на V е (n – k). Значи това са (n – k) базисни вектора. Ще ги означа като w1, w2...w(n – k). Имаме (n – k) на брой базисни вектори. Това множество е базисът на ортогоналното допълнение на V. Значи всеки вектор ето тук може да се представи като линейна комбинация на тези вектори. Всички тези вектори са линейно независими. Тук няма излишни вектори. Сега да разгледаме това. Ще ти кажа какво искам да направя. Искам да видя дали ако комбинирам тези две множества ще получа базиса на Rn. Това искам да разбера. Да кажем, че имаме някакви константи с1 по v1, плюс c2 по v2 и така нататък до ck по vk плюс – за константи на тези вектори ще използвам d – плюс d1 по w1, плюс d2 по w2 и така нататък до плюс d(n – k) по базисния вектор w(n – k) . Да кажем, че искам да приравня тази сума на 0, равна е на нулевия вектор при някакви стойности на тези скалари. Скаларите са тези коефициенти с и d. Знаем, че има поне едно множество от решения за стойностите на тези скалари, за което това равенство е изпълнено. Можем да умножим всички тези константи – с1, с2, ck, d1, d2 и т.н. до d(n – k). Всички те трябва да са нули. Но може да има повече от едно решение. Всъщност, ако единственото решение е всички тези константи да са равни на 0, тогава знаем, че всички тези вектори са линейно независими помежду си. Ако те наистина са линейно независими помежду си, тогава знаем, че те могат да бъдат базис на Rn. Но още не знаем това. Не знаем дали единственото решение на равенството е всички тези константи да бъдат равни на нула. Да видим можем ли да експериментираме с това. Ако вземем това равенство, което написах току-що, знаем, че едното решение е всички тези константи, всички с и d да са нули, но не знаем дали това е единственото решение. Хайде просто да извадим всички вектори w от двете страни на равенството. Какво ще получим? Ще получим с1 по v1 плюс c2 по v2 и т.н. до плюс ck по vk. Сега ще извадим от двете страни на равенството. Това ще бъде равно на нулевия вектор. Което наистина е 0, дори не трябва да го пиша, но може би е по-добре да го запиша, просто за да го разбереш. Просто взимам това равенство и изваждам тези членове от двете му страни. Значи нулевият вектор минус (d1 по w1 + d2 по w2... + d(n – k) по w(n – k). Просто извадих тези членове от двете страни на това равенство. Тук дори не е нужно да пиша 0, това е донякъде излишно. Сега тук имам някаква комбинация от базисните вектори на V. Ако разгледаме израза, това е някаква линейна комбинация от базисните вектори на V. Ако нарека този вектор – ще нарека това вектор х. Да кажем, че вектор х е равен на c1 по v1 + c2 по v2 и т.н. до ck по vk. Знаем, че това е линейна комбинация от базисните вектори на V, следователно вектор х принадлежи на V. По определение, всяка линейна комбинация на базисните вектори на едно подпространство принадлежи на това подпространство. По същия начин – какво имаме в дясната страна на равенството? В дясната страна на равенството имаме линейна комбинация от базисните вектори на ортогоналното допълнение на V. Тук можеш да поставиш минус, но това няма да промени факта, че това е някаква линейна комбинация на базисните вектори на ортогоналното допълнение на V. Значи този вектор ето тук ще принадлежи на... ще го нарека... това може да е някакъв друг вектор, с който са равни един на друг, можем и него да наречем х. Значи х е равно на това, но също така е равно на това, и понеже може да бъде представен като линейна комбинация от базисните вектори на ортогоналното допълнение на V, или на базисните вектори на V перп, знаем, че той също така трябва да принадлежи и на V перп. Само да обобщим това, защото може да е малко объркващо. Съставих това равенство ето тук. Знаем, че има поне едно решение – всички константи да са равни на 0. Това всеки може да го направи. Сега извадих всички жълти членове от двете страни и получих това равенство. Лявата страна това равенство е линейна комбинация от базисните вектори на V. Всяка линейна комбинация от базисните вектори на V принадлежи на V. Това е определението за базисни вектори. Значи ако приравня вектор х на тази лява страна, мога да кажа, че вектор х принадлежи на V. Ако вектор х е равен на лявата страна, той трябва да е равен и на дясната страна. Дясната страна е някаква линейна комбинация на V перп, или на базисните вектори на ортогоналното допълнение на V. Което означава, че вектор х принадлежи и на V перп. Какво означава това? Това означава, че вектор х трябва да е равен на 0. Току-що доказахме в началото на видеото, че единственият вектор, който принадлежи на едно подпространство и на неговото ортогонално допълнение е нулевият вектор. Знаем това, защото V перп е ортогонално допълнение на V, тогава вектор х трябва да е равен на нула. Ще го напиша тук – х е равно на нула. Отново повтарям – ние знаем, че 0 трябва да е равно на двете страни на равенството. Това са същите константи, с които започнахме. Но какво знаем за тези две множества? Искам да напиша това малко по-прегледно. Мога да напиша нулевия вектор ето тук. Знаем, че нулевият вектор трябва да е равен на това. Това е единственият вектор в Rn, който принадлежи едновременно на V и на ортогоналното допълнение на V. Значи това е нулевият вектор, и имаме тази линейна комбинация от вектори v, която е равна на нулевия вектор. Какво знаем за тези константи? Какви трябва да са с1, с2... сk? Знаем, че v1, v2... vk са базисните вектори на V. Това означава, че те са линейната обвивка на V и че са линейно независими. Линейната независимост по определение означава, че единственото решение на това равенство ето тук е всички константи да са 0. Значи линейната независимост ни казва, че с1, с2... сk трябва да са нули. Всички тези константи трябва да са равни на нула. Което е същото за тези константи тук. Всички тези константи трябва да са нула. Сега да разгледаме дясната страна на равенството. Можем да сложим минус навсякъде, но логиката остава същата. Тази линейна комбинация на базисните вектори на V перп е равна на 0. Единственото решение на това – защото всички тези вектори w1, w2... w(n – k) са линейно независими – единственото решение на това, когато изразът е равен на нула, е константите да са равни на нула. Това следва от линейната независимост. Ако знакът минус те обърква, ако прави нещата различни за теб, можеш просто да разкриеш скобите и да кажеш, че –d1 трябва да е равно на 0, –d2 трябва да е нула, –d(n – k) трябва да е нула. Но логиката е съвсем същата. Линейната независимост, което следва от факта, че това е базисното множество, означава, че единственото решение когато това е равно на нула, е всички тези константи да са равни на нула. Това означава, че d1, d2 и така нататък до d(n – k) трябва да са нули. Да се върнем към това, което написах тук горе. Това беше първоначалното равенство, с което експериментираме. Просто като преобразувахме малко това равенство разбрахме, че единственото сечение между V и V перп е нулевият вектор. И че имаме линейна независимост тогава, когато единственото решение, когато приравним тези вектори на нула е всички техни константи да са равни на нула. Тогава знаем, че всички тези членове, от c1, c2... ck и d1, d2... d(n – k) трябва да са равни на нула. Това е единственото решение на това по-разширено равенство, което написах тук. Добре, единственото решение на това разширено равенство, което написах тук, е всички константи да са равни на 0. Това означава, че ако взема ето тук множеството от v1, v2... vk и го разширя с базисните вектори на V перп, които са w1, w2... w(n – k), това е едно линейно независимо множество. Знам това, защото единственото решение на това равенство е всички тези константи да са равни на 0. Това означава линейна независимост. Това предполага това. Линейната независимост означава това. Използвахме факта, че линейната независимост означава, че всичко това е равно на нула, за да стигнем до извода, че c1, c2... ck са равни на нула и получихме това ето тук. После го използвахме отново, когато приравнихме това също да е равно на нулевия вектор. Знаехме, че всички d-та трябва да са равни на нула. Не знам дали си спомняш, но нулевият вектор идва от факта, че той е единственият вектор, който принадлежи на двете множества. Знам, че малко се повтарям, но наистина искам да разбереш, че това доказателство не е някакво кръгово доказателство. Че просто съставихме това равенство и се запитахме какво е множеството от решенията му, преобразувахме го, казахме, че двете страни на равеството принадлежат едновременно на V и на V перп. Единственият вектор, който принадлежи на двете подпространства е нулевият вектор. Значи и двете страни на равенството следва да са равни на 0. Единственото решение на това е всички константи да са нули, защото всяко от тези е линейно независимо множество. Следователно всички тези константи трябва да са равни на нула. После това разширено множество, в което комбинирахме всички базисни вектори, то също трябва да е линейно независимо. Преди много, много, много уроци учихме, че ако имаме някакво подпространство с размер n, и ако имаме n на брой линейно независими вектори, които принадлежат на това подпространство, тогава тези n на брой линейно независими вектори или множеството от тези n вектори е базис на подпространството. Rn e подпространство на самото себе си. Rn е n-мерно подпространство. Можем да напишем, че размерът на Rn е n. Имаме n линейно независими вектори в Rn. Това означава, че тези вектори ето тук са базис на Rn. Имаме n на брой линейно независими вектори. Имаме (n – k) вектора, които идват от V перп. Имаме k, които идват от V, от базисите на тези подпространства. Сега имаме общо n на брой вектори. Те са линейно независими. Всички вектори принадлежат на Rn. Значи те са базис на Rn. Което означава, че всеки вектор в Rn може да бъде представен като линейна комбинация на тези вектори, което е изумително. Значи това е базис на Rn. Това означава, че можем да вземем всеки вектор – да кажем, че някакъв вектор а принадлежи на Rn. Това означава, понеже това е базисът на Rn, че той може да бъде представен като някаква линейна комбинация на всички тези вектори. Той може да бъде представен като c1 по v1 + c2 по v2... и така нататък до + ck по vk. Ще използвам различен символ, за да съм сигурен, че разбираш, че това е различно равенство от това, което написах по-рано във видеото. Значи мога да напиша това, и тогава мога да имам някакви други константи, които са, да кажем, плюс е1 по първия базисен вектор на V перп плюс е2 по втория базисен вектор, плюс... и така нататък до е(n – k) по (n – k)-ия базисен вектор на V перп. Мога да представя всеки вектор в Rn по този начин. Или мога да го кажа по различен начин. Какво е това тук? Това е някакъв вектор, който принадлежи на подмножеството V. После това е някакъв вектор х ето тук, който принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Това е просто линейна комбинация на базисните вектори на V перп. Това е просто линейна комбинация на базисните вектори на V. Като знаем, че всички тези вектори образуват базисът на Rn, това означава, че произволен член на Rn може да се представи като линейна комбинация от тях. Но това означава, че всеки член на Rn може да се представи като сбор от член на подпространството V плюс член на подпространството V перп. Този вектор принадлежи на V, а този принадлежи на V перп. А това е много, много интересна идея. Ако ми дадеш едно подпространство, тогава мога да намеря неговото ортогонално допълнение. Всеки един вектор в Rn може да се представи като комбинация, или като сбор на някакъв вектор в нашето подпространство и някакъв вектор в неговото ортогонално допълнение. Следващият въпрос, който може да се зададе, е дали това представяне е уникално. Това представяне уникално ли е? Хайде да проверим, като допуснем, че не е уникално. Това означава, че някакъв вектор а, който принадлежи на Rn, може да бъде представен по два начина. Мога да го представя като равен на някакъв член на подпространството V плюс някакъв член на ортогоналното допълнение на V. Мога да го представя по следния начин. Мога да го представя и като някакъв друг член на подпространството V плюс някакъв друг член на ортогоналното допълнение на V. Нека векторите х1, х2 да принадлежат на V перп. После векторите v1 и v2 да принадлежат на V. Ако допуснем, че това представяне не е уникално, тогава има два начина, по които да го представим. Представям го като тези два вектора. Очевидно тази страна на равенството е равна на тази страна. И двете са представяния на вектора а. Значи можем да преработим равенството. Можем да кажем, че v1 минус v2... ако извадя вектор v2 от двете страни, получавам v1 минус v2 е равно на... изваждаме v2 от двете страни, и ако извадя х 1 от двете страни, получавам х2 минус х1. Ако извадя... И двата вектора принадлежат на подпространството V. Всяко подпространство е затворено по отношение на събирането и изваждането, което е просто частен случай на събирането. Значи това принадлежи... Векторът v1 – ще го напиша по следния начин, ще означа сумата като вектор z, който е равен на тези два вектора, които са равни помежду си. z е вектор v1 минус v2. Всяко подпространство е затворено по отношение на събирането, и ако вземем два вектора и намерим тяхната разлика в подпространството, тогава получената разлика също принадлежи на подпространството. z ще принадлежи на подпространството V. Този вектор ето тук – който е равен на същото, на което е равен вектор z – той ще принадлежи на V перп. Защо? Защото и х1, и х2 принадлежат на ортогоналното допълнение на подпространството V. Това също е подпространство. Значи то също е затворено по отношение на събиране и изваждане. Значи този вектор също ще принадлежи на нашето подпространство. Значи можем да кажем, че z принадлежи на V перп. или на ортогоналното допълнение на V. И това сме го правили много пъти. Това е първото нещо, което показах в началото на клипа. Единственият вектор, който принадлежи на едно подпространство и на неговото ортогонално допълнение е нулевият вектор. Значи вектор z трябва да е равен на нулевия вектор. Значи той е равен на нулевия вектор. Но щом и двата вектора са равни на нулевия вектор, знаем, че v1 – v2 е равно на нулевия вектор, това означава, че v1 трябва да е равен на v2. Знаем също, че х2 – х1 е равно на нулевия вектор. Или х2 е равно на х1. Тоест искахме да покажем, че има два начина да конструираме един произволен вектор а, който принадлежи на Rn. И ги записахме. Но после се оказа, че v1 трябва да е равен на v2, и х1 трябва да е равен на х2. Значи има само един уникален начин да представим един член на Rn като сбор от вектор, който е в подпространството V, и вектор, който е в ортогоналното допълнение на V.