dim(v) + dim(ортогонално допълнение на v) = n

Да кажем, че имаме някакво подпространство в Rn, означено като V. Значи V е подпространство на Rn. Да кажем, че знам, че това е неговият базис. Това е множеството... Значи имаме... ще направя тази скоба малко по-хубаво – да кажем, че това е множеството от векторите v1, v2 и така нататък до vk, да кажем, че това е равно на... това е базисът на V. Само да преговорим – това означава, че тези вектори на V едновременно са линейната обвивка на V и са линейно независими помежду си. Можем да разглеждаме това като един вид най-малкото множество от вектори в Rn, които са линейна обвивка на V. И ако те попитам какъв е размерът на V, това е просто броят на векторите, които се съдържат в базиса на подпространството. Значи имаме 1, 2 – преброяваме k на брой вектори. Значи размерът е k. (Забележка: размерът си бележи с "dim" – например dim(V) = k) Сега да помислим дали можем да определим какъв е размерът на ортогоналното допълнение на V. За да го направим, нека конструираме една матрица. Да конструираме матрица, чиито вектор-стълбове са тези базисни вектори. Ще конструираме матрицата А, и да кажем, че тя изглежда ето така. Първият стълб е v1. Това е първият вектор-стълб ето тук. v2 е вторият вектор-стълб, и така нататък до vk. Само да си припомниш какво представляват размерите – имаме k на брой такива вектори, значи ще имаме k стълба. А колко реда ще имаме? Щом принадлежи на Rn, тогава ще има n елемента във всеки от тези стълбове, значи ще бъде n... ще имаме n реда и k стълба. Това е матрица n x k. По какъв друг начин можем да изразим подпространството V? Базисът на V е... или линейната обвивка на V са тези базисни вектори, които представляват стълбовете ето тук. Ако говорим за линейна обвивка – ще запиша това – V е равно на линейната обвивка на тези вектори, v1, v2... vk. Това е същото като векторното пространство на матрицата А. Нали? Това са вектор-стълбове, и тяхната линейна обвивка, това е равно на векторното пространство на матрицата А. Преди малко казах, че искам да намерим връзката с ортогоналното допълнение на V. Кое е ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата А? Ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата А – аз го доказах преди две или три урока – че векторното пространство на ортогоналното допълнение на матрицата А, е равно на – можем да го разглеждаме или като нулевото пространство на матрицата А транспонирана, или другият начин е като лявото нулево пространство на матрицата А. Това е еквивалентно на ортогоналното допълнение на векторното пространство на А, което ще бъде равно на, което също така е, понеже това тук е същото нещо като V, взимаме ортогоналното допълнение, което е същото като ортогоналното допълнение на V. И ако искаме да определим ортогоналното допълнение на – ако искаме да определим размера на ортогоналното допълнение на V, просто трябва да намерим размера на лявото нулево пространство на матрицата А, или нулевото пространство на А транспонирана. Ще го запиша ето тук. Значи размерът... понякога ми се връзва езикът – размерът на ортогоналното допълнение на V е равен на размера на матрицата А транспонирана. Друг начин да го разглеждаме е – извинявам се, не е само размерът на А транспонирана, това е размерът на нулевото пространство на матрицата А транспонирана. Ако имаш добра памет, не използвам често този термин – това е "дефект" – това е дефектът на матрицата А транспонирана. Размерът на нулевото пространство е дефектът, размерът на векторното пространство е рангът. Сега да видим какво можем да направим тук. Да разгледаме матрицата А транспонирана, или просто да си представим А транспонирана за секунда. Мога просто да я напиша. Тя ще бъде матрица k x n, която изглежда ето така. Тези стълбове ще станат редове. Това ще бъде v1 транспониран, v2 транспониран, и така нататък, до vk транспониран. Всичко това сега са вектор-редове. Знаем едно нещо. Знаем каква е зависимостта между ранга и дефекта на една матрица. Знаем, че сборът им е равен на броя на стълбовете на матрицата. Знаем, че рангът на матрицата А транспонирана плюс дефекта на матрицата А транспонирана е равен на броя на стълбовете на матрицата А транспонирана. Имаме n стълба. Всеки от тях има n елемента. Значи е равно на n. Видяхме това преди известно време. И само да припомня откъде идва това – когато... ако представим матрицата А транспонирана като съвкупност от вектор-стълбове, което мога да направя, или всъщност ще взема друга матрица В, защото искам само да ти припомня какво означава това. Ако взема някаква матрица В, която се състои от вектор-стълбове b1, b2... bn, ако я преобразувам в ешелонна форма, ще получим водещи стълбове и неводещи стълбове. Да кажем, че това е водещ стълб. В него има 1 и останалото са нули, да кажем, че този е такъв, а после да кажем, че имаме това тук, тук ще бъде 0, това ще е 1, и всичко друго са неводещи стълбове. Показах ти в последното видео, че базисът на векторното пространство е броят на водещите стълбове. Това тук са водещи стълбове. Съответните вектор-стълбове образуват базисът на векторното пространство. Показах ти го в последното видео. Ако искаме да разберем какъв е размерът на векторното пространство, трябва да ги преброим. Просто преброяваме водещите стълбове. Това е равно на броя на – в примера с матрицата В, рангът на В е равен на броят на водещите стълбове. Дефектът на матрицата е размерът на нулевото пространство. Решавахме няколко задачи, в които намирахме нулевото пространство на матрици. Всеки път размерът, това е очевидно, и аз го доказах, е свързан с броя на свободните стълбове, които имаме, или на неводещите стълбове. Ако нямаме неводещи стълбове, тогава – ако всички стълбове са водещи, ако никой от тях не съдържа свободни променливи или не е свързан със свободни променливи, тогава нулевото пространство ще бъде тривиално. То ще съдържа само нулевия вектор. Но колкото повече свободни променливи има, толкова по-голяма размерност има нулевото пространство. Значи свободните стълбове съответстват на нулевото пространство, като те всъщност са базис на нулевото пространство. И по тази причина, базисът на нулевото пространство плюс базисът на векторното пространство е равно на общият брой стълбове в матрицата. Доказвах това в миналото, но винаги е добра идея да си припомним откъде идват нещата. Това беше малко отклонение. Направихме това с друга матрица В. Само за да си припомним откъде идва това нещо. В последното видео доказах, че рангът на матрицата А транспонирана е равен на ранга на матрицата А. Това е равно, тази част тук, е равна на ранга на матрицата А. Показах го в предходното видео. Когато транспонираме една матрица, тя не променя своя ранг, или не променя размерите на векторното си пространство. Значи можем да запишем това твърдение, ето тук, като рангът на матрицата А плюс дефектът на матрицата А транспонирана са равни на n, и рангът на матрицата А е равен на размера на векторното пространство на матрицата А. После дефектът на матрицата А транспонирана е равен на размера на нулевото пространство на матрицата А транспонирана – това е определението за дефект – значи техният брой също е равен на n. И какъв е размерът – какво е векторното пространство на матрицата А? Векторното пространство на матрицата А, това е линейната обвивка на тези вектори, които са базис на V. Значи това е равно на размера на V. Векторното пространство на матрицата А е равно на размера на подпространството V от началото на видеото. А какво е нулевото пространство на матрицата А транспонирана? Нулевото пространство на матрицата А транспонирана, вече видяхме, че това е ортогоналното допълнение на V. Значи мога да запиша тук, че плюс размера на ортогоналното допълнение на V е равно на n. И това е резултатът, който търсехме. Ако V е подпространство на Rn, това n е същото като това n, тогава размерът на V плюс размера на ортогоналното допълнение на V са равни на n.