Ортогонални допълнения

Нека е дадено едно подпространство V. Значи V е някакво подпространство, например в Rn. Ще дефинирам ортогоналното допълнение на V – ще запиша това – ортогоналното допълнение на V е множеството... Това е съкратен начин за записване, това означава ортогонално допълнение на V. Значи записвам този знак за ортогоналност като горен индекс на V. Можеш да го произнасяш като V перп, което означава перпендикулярен. Значи V перп е равно на множеството от всички вектори х, които принадлежат на Rn, такива че скаларното произведение х по v е равно на 0 за всеки вектор v, който принадлежи на подпространството V. Един вид казваме: "Виж, имаме някакво подпространство, което съдържа някакви вектори. Ако мога да намеря някакво друго множество от вектори, в което всеки член на това множество е ортогонален на всеки член на въпросното подпространство, тогава множеството от тези вектори се нарича ортогонално допълнение на V. Записва се по този начин – V перп, ето така. Първото нещо, което правим, когато дефинираме едно пространство или някакво множество, е да видим дали това е подпространство. Дали Vперп, т.е. дали ортогоналното допълнение на V е подпространство. Може би си спомняш от преди доста време, че имахме няколко условия нещо да е подпространство. Ако – да кажем, че векторите а и b принадлежат на Vперп, тогава трябва да видим дали вектор (а + b) принадлежи на V перп. Това е първото условие. Трябва да е затворено по отношение на събирането, за да бъде подпространство. Следващото условие е, ако вектор а принадлежи на Vперп, дали произволно произведение на вектор а по някакъв скалар също принадлежи на Vперп. Последното условие е да съдържа нулевия вектор. Което донякъде се повтаря с това, защото ако произволно произведение със скалар принадлежи на ортогоналното допълнение на V, тогава просто можем да го умножим по 0. Което ще означава, че нулевият вектор принадлежи на V. Какво означава това? Какво означава векторите а и b да принадлежат на Vперп? Това означава, че скаларното произведение а . v, където v е произволен член на оригиналното подпространство V, е равно на 0 за всяко v, което принадлежи на подпространството V. Това също означава, че вектор b, понеже също принадлежи на V перп, че скаларното произведение на v по всеки член на подпространството V също ще бъде 0, или за всяко v, което принадлежи на V. А какво да кажем за скаларното произведение на (а + b) по v? Да извършим умножението. Ако умножим скаларно вектор (а + b) по вектор v, на какво ще е равно това? Това е равно на (а . v) плюс (b . v). И както току-що казах, поради факта, че векторите а и b принадлежат на ортогоналното допълнение означава, че и двата множителя ще бъдат равни на 0. Значи това ще стане 0 плюс 0, което е равно на 0. Значи векторът (а + b) определено принадлежи на ортогоналното допълнение. Поставям отметка тук, ще използвам различен цвят от този на въпросителния знак. Поставям отметка, че е изпълнено първото условие V перп. да е подпространство. Сега да видим дали с по а принадлежи на Vперп. Да умножим по с. Ако умножим числото с по вектор а, а после умножим скаларно резултата по произволен член на първоначалното подпространство, това е същото като с по (а . v). На какво е равно това? По определение вектор а принадлежи на ортогоналното допълнение, значи това ще е равно на 0. Това ще бъде с по 0, което също е равно на 0. Значи това също принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Разбира се, ако умножа с по 0, ще получа 0. Можем също да кажем, че 0 е ортогонално на всичко. Ако вземем нулевия вектор и го умножим скаларно по кой да е вектор, винаги ще получим 0. Значи нулевият вектор винаги ще принадлежи на всяко ортогонално допълнение, защото очевидно това условие винаги ще е изпълнено за него. Значи знаем, че V перп, или ортогоналното допълнение на V е подпространство. Което е хубаво, защото сега знаем, че за него се отнасят всички тези свойства на подпространствата. Следващият въпрос, който леко засегнах в това и предходното видео, е – казах, че ако имам някаква матрица А, която е с размери m x n. В последното видео казах, че векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете – ще го напиша по следния начин. Записах, че нулевото пространство на матрицата А е равно на ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, както е записано ето тук, то е равно на векторното пространство, на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Един начин да преработим това твърдение е, че нулевото пространство на матрицата А е ортогоналното допълнение на векторното ѝ пространство, определено чрез вектор-редовете ѝ. Векторното пространство на една матрица, определено чрез редовете, е равно на векторното пространство, определено чрез стълбовете на транспонираната на матрицата, Твърдението, което още не съм доказвал, е, че това е ортогонално допълнение на това. Това е равно на това, тук има горен индекс "перп". Това е твърдението и поне в конкретния пример, който направих в последните два клипа, случаят беше такъв, където показах това за матрица 2 х 3. Но да видим дали това е вярно в общия случай. Ще запиша матрицата А по следния начин. Значи матрицата А мога да представя като съвкупност от вектор-редове. За да имаме единен стил на записване, обикновено записваме векторите като стълбове, така че тук ще представя вектор-редовете като транспонирани вектор-стълбове. Защото, реално, векторите винаги са вектор-стълбове, а вектор-редовете са техните транспонирани версии. r1 транспониран, r2 транспониран, и така нататък до долу. Имаме m реда. Значи това ще бъде r m транспониран. Не позволявай това "транспониран" да те обърква. Казвам просто, че това са вектор-редове. Това "транспониран" тук означава просто, че всичко това са транспонирани вектор-стълбове, които представляват тези редове. Но ако ти е по-лесно, просто си представи, че това е първият ред на матрицата, това е вторият ред на тази матрица, и така нататък. Какво е нулевото пространство на матрицата А? Това са всички тези вектори. Ще го направя по следния начин. Нулевото пространство на А са всички тези вектори х, които удовлетворяват равенството, че това тук е равно на нулевия вектор. Какво можем да направим, за да решим това уравнение? Правили сме го няколко пъти. Произведението на матрица с вектор всъщност е същото като... ще го запиша по следния начин – е равно на нулевия вектор в Rm. Ще имаме m нули навсякъде, чак тук долу до m-ата нула. Друг начин да запишем това равенство е, показвал съм го вече, когато умножим матрица с вектор, което на практика е едно скаларно произведение. За да получим този елемент тук, този елемент тук ще бъде този ред умножен скаларно по вектор х. Това е r1... това е вектор-ред r1 транспонирано. Това е транспонираната версия на някакъв вектор-стълб, който сме представили като ред. Скаларното произведение с нашия вектор х ще бъде равно на тази 0. Ако умножим тези – ще използвам различен цвят – ако умножим това скаларно по този вектор х, това ще бъде равно на тази 0. Значи умножаваме скаларно r2 транспониран по х, което ще бъде равно на това 0 тук. Друг начин да запишем това равенство тук е, че скаларното произведение на r1 транспониран по вектор х е 0, r2 транспониран, умножен скаларно по вектор х, e равно на 0, и така нататък до rn транспониран по х e равно на 0. По определение нулевото пространство на матрицата А е равно на всички вектори х, които принадлежат на... в този случай това е матрица m x n, която има n стълба – значи това са всички вектори х, които принадлежат на Rn, такива че А по х = 0. Или алтернативно можем да го запишем така: ако умножим скаларно всички вектор-редове по вектор х, това ще е равно на нула. Значи можем да го запишем по такъв начин, че А по х е равно на 0. Това е по-лесен начин на записване. Да помислим върху това. Ако един вектор принадлежи... ако по дефиниция имаме някакъв вектор v. Ще сменя цветовете. Ако ти кажа, че този вектор v принадлежи на нулевото пространство на матрицата А – да го наречем вектор v1. Вектор v1 принадлежи на нулевото пространство на матрицата А. Това означава, че той удовлетворява това равенство тук. Това означава, че А по вектор v1 е равно на нула. А по вектор v1 равно на нула означава, че когато умножим скаларно всеки ред на матрицата А по вектор v1, ще получим нула. Друг начин да го формулираме е, че вектор v1 е ортогонален на всички тези вектор-редове, на r1 транспониран – това е първият ред, r2 транспониран, и така нататък до rm транспониран. Значи този вектор е ортогонален на всички тези редове по определение, и това се отнася за всеки член на нулевото пространство. Щом е ортогонален на всички тези членове, на всички тези редове на матрицата, той е ортогонален и на всяка линейна комбинация на тези вектор-редове. Ортогонален е на всяка линейна комбинация на тези вектор-редове. Можеш да си представиш – да кажем, че имаме някакъв вектор, който е линейна комбинация на тези вектор-редове тук. Да кажем, че вектор.... ще го запиша... просто... той ще принадлежи на на някакво пространство R... Да кажем, че вектор w е равен на някаква линейна комбинация на тези вектори ето тук. Записах ги като транспонирани вектор-стълбове, понеже те са вектор-редове. Но мога да ги запиша и като обикновени вектор-стълбове, просто за да ти покажа, че w може да е обикновен вектор-стълб. Да кажем, че w е равен на с1 по r1, плюс с2 по r2 и така нататък до cm по rm. Вектор w е равен на това. Какво се случва, когато умножим скаларно вектор v, който принадлежи на нулевото пространство, по вектор w? Ако умножим скаларно вектор v по вектор w, това означава, че умножаваме скаларно вектор v по всички тези компоненти тук, защото скаларното умножение притежава дистрибутивното свойство. Значи ако умножим скаларно вектор v по всеки от тези компоненти, това ще е равно на с1 – ще изнеса скалара пред скоби – с1 по (v . r1), плюс с2 по (v . r2) – това тук е r не е v – плюс... и така нататък, плюс cm по (v . rm). Знаем, вече казахме, че скаларното произведение на вектор v с всички тези r ще е равно на 0. Значи всички тези произведения са равни на нула. Тогава целият израз ще бъде равен на нула. Така че, ако имаме вектор, който е линейна комбинация на тези вектор-редове, и ако го умножим скаларно по произволен член на нулевото пространство, ще получим нула. Ще го напиша по следния начин, какво представлява произволен вектор, който е произволна линейна комбинация на тези вектори? Това е линейната обвивка на тези вектори. Или можеш да кажеш, че е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Ако вектор w принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което можем да представим като векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата А транспонирана, освен това ще знаем, че вектор v принадлежи на нулевото пространство. Знаем, че скаларното произведение v . w ще е равно на 0, както го показах ето тук. Значи всеки член на нулевото пространство определено е ортогонален на всеки член на векторното пространство, определено по вектор-редове. Значи това знаем дотук. Всеки член на нулевото пространство на матрицата А е ортогонален на всеки член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редове. Това е само половината работа. Това все още не ни казва, че това е еквивалентно на ортогоналното допълнение на нулевото пространство. Например, може да има членове на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, които не са членове на нулевото пространство. Нека имаме някакъв друг вектор u. Да кажем, че вектор u принадлежи на ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата, определено чрез вектор-редовете. Знам, че този начин на записване е малко объркващ, може би тук трябва да запиша едно r. Но искам да запомниш, че векторното пространство на матрицата, определено чрез вектор-редовете, е просто векторното пространство на транспонираната версия на матрицата, определено чрез вектор-стълбовете. Да кажем, че вектор u принадлежи на ортогоналното допълнение. Сега искам да докажа, че вектор u трябва да принадлежи на нулевото пространство. Когато ти докажа това, тогава ще знаем. Досега казахме само, че всичко в нулевото пространство е ортогонално на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, но ние не знаем, че всичко, което е ортогонално на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което представлява това множество, също така трябва да принадлежи на нулевото пространство. Ето това трябва да докажем, за да може тези две множества да са еквивалентни, за да може нулевото пространство да е равно на това. Ако знаем, че това е вярно, тогава това означава, че скаларното произведение u . w, където w принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, ще бъде равно на 0. Ще напиша това ето тук – то ще бъде равно на 0. Какво означава това? Това означава, че вектор u също така е ортогонален... Означава, че скаларното произведение на u... rj, един произволен вектор-ред – това скаларно произведение също е равно на 0, като j е равно на 1 и така нататък до m. Откъде знаем това? Аз казвам, че щом сме избрали вектор u да принадлежи на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, тогава вектор u е ортогонален на всеки член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Значи по-конкретно базисните вектори на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете – не знаем дали тези вектори са базисни вектори – тези вектори определено принадлежат на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Някои от тях всъщност са базис на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Това означава, че ако умножим скаларно вектор u по някой от тях, това произведение ще е равно на нула. Щом скаларното произведение на вектор u по някой от тези вектори е нула, това означава, че u . r1 = 0, u . r2 = 0, и така нататък, до u . rm = 0. Ако всичко това е вярно, това означава, че произведението на матрицата А по вектор u е равно на нула. Това означава това, нали? Взимаме вектор u, намираме всички тези скаларни произведения, и това ще удовлетворява това равенство. Което означава, че вектор u принадлежи на нулевото пространство. Току-що показахме, че всеки член на нулевото пространство определено е член на ортогоналното допълнение. А сега доказахме, че всеки член на ортогоналното допълнение е член на нулевото пространство. Всъщност сега забелязвам, че тук съм допуснал малка грешка. Това скаларно произведение – тук не трябва да е транспонирано, защото ние дефинирахме скаларните произведение като скаларни произведения на вектор-стълбовете. Значи това са транспонираните версии на вектор-стълбовете. Така че тук можем да премахнем транспонирането и просто да умножим скаларно. Няма значение, това е малка грешка. Но това ме отклони от основния извод, от главното, от голямата картина. Сега доказахме, че произволен член на нулевото пространство е член на ортогоналното допълнение. Току-що ти доказах, че това първо твърдение тук е друг начин да кажем, че всеки член на нулевото пространство – или че нулевото пространство е подмножество на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Това е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, а това е ортогоналното допълнение към него. И току-що доказахме, че всеки член на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, също е член на нулевото пространство. Ако тези две неща са подпространства едно на друго, тогава те трябва да са равни помежду си. Значи сега знаем, че нулевото пространство на матрицата А е равно на ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, или на векторното пространство на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Намерихме зависимост между нулевото пространство и векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Тук много лесно можех да направя едно заместване. Да кажем, че матрицата А е равна на някаква друга матрица В транспонирана. Това е транспонираната матрица на някаква друга матрица, която може да се транспонира и в двете посоки. Ако просто заместя ето тук, какво ще получим? Получаваме, че нулевото пространство на матрицата В транспонирана е равно на векторното пространство на В транспонирано, определено чрез вектор-стълбове, нали? А транспонирана е равна на транспонираната В транспонирана. Трябва да поставя скобите правилно. И това е ортогоналното допълнение на това нещо. На какво е равно това? Транспонираната версия на В транспонирана е равна на В. Мога да запиша, че нулевото пространство на В транспонирана е равно на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на В. И така доказахме, че.... матриците В и А са произволни матрици. А това ни показва, че нулевото пространство – понякога е хубаво да се запише просто с думи – е ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. А това тук ни показва, че лявото нулево пространство, което просто е същото като нулевото пространство на транспонираната на матрицата, е равно на ортогоналното допълнение – ще го съкратя – на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете. Това са два много хубави извода. Видяхме един конкретен пример преди няколко урока, и сега виждаме, че това важи за всички матрици.