Изразяване на проекцията върху права като произведение на матрица с вектор

В последното видео видяхме, че ако имаме някаква права, която е дефинирана като всички мащабирани версии на някакъв вектор – ще го запиша така – мащабираните версии са получени очевидно чрез умножение с произволно реално число. Ние дефинирахме една трансформация, и въпреки че не използвах понятията за трансформация, но това си беше трансформация. Ние дефинирахме проекцията върху тази права L като трансформация. Във видеото начертах това като трансформация в R2, но това може да бъде произволна трансформация от Rn в Rn. Съгласно дефиницията, проекцията на х върху L е равна на скаларното произведение на вектор х по този дефиниращ вектор (на правата L), разделено на скаларното произведение на този дефиниращ вектор, умножен по самия него. Всичко това по дефиниращия вектор на правата. Това беше нашето определение. Може би веднага забеляза няколко неща, когато видя това за пръв път. Когато умножим скаларно един вектор по самия него, това на какво е равно? Знаем, че ако умножим скаларно един вектор по самия него, това е равно на дължината на вектора, повдигната на втора степен. Можем да преработим това като равно на скаларното произведение х . v, върху квадрата на дължината на вектор v, цялото по вектор v. Щеше да е хубаво, ако дължината на вектор v е 1. Ако дължината на вектор v беше 1, или това е просто друг начин да кажем, че вектор v е единичен вектор. Тогава формулата за проекция ще се опрости до х . v, всичко това – това е само някакъв скалар (число) – това по вектор v. Може да кажеш: "Сал, как можем да разберем дали това е единичен вектор, или не е?" Можеш да разбереш, че всеки... ще го начертая така. Когато го начертах в предишното видео, аз просто избрах една права, ето така. Тази права може да се дефинира чрез този вектор v от правата. Той може да е всеки вектор, който лежи на правата. Вектор v може да изглежда ето така. Ако някой ти даде един вектор v, който не е единичен вектор, да кажем, че дължината на вектор v не е равна на 1. Как можеш да дефинираш права чрез някакъв единичен вектор? Можеш просто да нормализираш вектор v. Можеш да дефинираш някакъв единичен вектор тук, да го наречем вектор u, който е единичен вектор. Той е равен на 1 върху дължината на вектор v, по вектор v. Показах ти това във видеото за единични вектори. Можеш да конструираш единичен вектор, който има същата посока като някакъв вектор, просто като разделиш, или може да се каже като умножиш този вектор, по 1 върху неговата дължина. Принципно винаги можем да предефинираме една права. Всички възможни мащабирани версии на вектор v ще бъдат равни на всички мащабирани версии на единичния вектор u, който е просто мащабирана версия на вектор v. Можем да предефинираме нашата права. Ако предефинираме правата L като равна на всички възможни мащабирани версии на единичния вектор, като мащабиращите коефициенти са произволни реални числа. Тогава дефиницията за проекция малко се опростява. Проекцията на вектор х върху правата L става равна на скаларното произведение на вектор х по единичния вектор, по самия единичен вектор. Примерът, който разгледахме в предишното видео, в който имахме тези два вектора и аз казах, че вектор v, който дефинира правата – доколкото си спомням беше вектор [2;1]. Вектор х беше [2;3]. Ако не искаш да използваш това определение, можеш просто да превърнеш този вектор в единичен вектор. Начинът да го превърнем в единичен вектор – очевидно става въпрос за дължината му. В този случай дължината на вектор v беше равна на това – 2^2 плюс 1^2, това е 1. Намираме квадратен корен от това. Ще го запиша. Равно е на квадратен корен от 2^2 плюс 1^2, което е равно на квадратен корен от 5. Можем да дефинираме вектор u – нашият единичен вектор ще е равен на 1 върху това, по този вектор. 1 върху корен квадратен от 5, по вектор [2;1]. Можеш да извършиш умножението, или можеш да не го извършваш. Може да го оставиш и в този вид. Можеш винаги, за всеки вектор v, да намериш единичен вектор, който има същата посока, като приемаме, че работим с ненулеви вектори. Можеш винаги да преобразуваш всеки вектор по този начин, да получиш друга дефиниция за него, ето така. Това е версията като единичен вектор на вектор v ето тук. Просто казваме, че това е трансформация от Rn в Rn. Това, в което не винаги сме сигурни, е, дали това е линейна трансформация. Винаги можем да го представим по този начин. Но да видим дали това винаги ще бъде линейна трансформация. Има две условия една трансформация да е линейна. Първото условие е – да видим какво се случва, ако вземем проекцията върху правата L на два вектора: вектор а плюс вектор b. Нека имаме сумата на вектор а плюс вектор b. Това е линейна трансформация, ако проекцията на сбора на тези два вектора е равна на това да вземем проекциите на двата вектора поотделно и да ги сумираме. Да видим дали случаят е такъв. Това е равно на – по определение – ще използваме версията на вектора като единичен вектор, защото така се работи по-лесно. Това е равно на а плюс b, това е вектор х, умножен скаларно по вектор u. После целият този израз по единичния вектор. Знаем, че скаларното произведение притежава дистрибутивното свойство, така че това е равно на а . u плюс b . u. Това е единичния вектор. Целият този израз по вектор u. Това са просто скалари, т.е. числа. Умножението със скалар (число) притежава дистрибутивно свойство. Това (а . u) е равно на а . u, по нашия вектор u – спомни си, че това е просто едно число – плюс b . u, по вектор u. На какво е равно това? Това ето тук е равно на проекцията на вектор а. Това е равно на проекцията на вектора а върху правата L, по определение. Съгласно това определение. Ако приемем, че работим с определението чрез единичния вектор на права. Това е равно на този целият израз, е равно на проекцията на вектор а, плюс проекцията на вектор b върху правата L. Значи е изпълнено първото изискване проекцията да е линейна трансформация. Проекцията на сумата на векторите е равна на сумата от проекциите на векторите. Второто условие е, проекцията на произведението на вектор със скалар да е равна на произведението на скалар по проекцията на вектора. Ще запиша това. Какво представлява проекцията на някаква мащабирана версия на някакъв вектор а върху правата L? Това е равно на скаларното произведение на (с по а) и единичния вектор u по единичния вектор u. Това изглежда по-очевидно. Това е мащабирана версия на вектора. От свойствата на скаларното произведение знаем, че това е равно на с по (а . u) по вектор u. Това е равно на с по това тук, което е проекцията на вектор а върху правата L. Изпълнени са и двете условия това да е линейна трансформация. Знаем, че проекцията върху правата L в Rn е линейна трансформация. Това означава, че можем да я представим чрез матрица на трансформацията. Знаем, че проекцията на вектор х върху L, вече знаем това определение, което можем да преработим. Не пречи да го преработим като вектор х умножен скаларно по някакъв единичен вектор, който дефинира правата. Ще поставя една малка шапка отгоре, което означава че това е единичен вектор. По самия единичен вектор, така че всъщност ще получим вектор. Как мога да представя това като произведение на матрица с вектор? Някакво произведение на матрица с вектор. Искам да го представя като произведение на някаква матрица по вектор х. За да опростим нещата, понеже работим с матрица, нека да ограничим примера до R2. Допускам, че проекцията върху правата L е изобразяване от R2 в R2. Но можеш да направим това, което правя тук, за произволен брой измерения. Ако сме в R2, тогава матрицата А ще бъде с размери 2 х 2. Виждали сме вече много пъти, че за да намерим матрицата А просто взимаме единичната матрица, чиито стълбове са стандартните базисни вектори. 0, 1. Или 1 и 0, после 0 и 1. После прилагаме трансфомацията към всеки от тези стълбове. Значи матрицата А ще е равна... първият ѝ стълб ще е равен на проекцията върху L на този вектор тук. Ще го направя с този оранжев цвят. Това какво ще бъде? Това ще бъде това умножено скаларно по u... ще напиша вектор u – нашият единичен вектор, който да приемем, че можем да представим като като [u1; u2], ето така. Искам да умножа това скаларно по единичния вектор, ще го запиша. Ще го запиша отстрани. Първо искам да разбера дали проекцията върху правата L – ще го напиша по следния начин. Знаем, че проекцията е равна на това, умножено скаларно по това, по този вектор. Ще го запиша. Вектор [1;0], умножен скаларно по вектор u, който е просто [u1;u2]. И това е умножено по единичния вектор u. Ще го запиша по този начин – по вектор [u1;u2]. Това е първият стълб на трансформационната матрица. Вторият стълб ще е същото нещо, но аз не съм готов да направя проекцията на този вектор. По определението за проекция умножаваме скаларно това по единичния вектор. Значи умножаваме скаларно. Умножаваме скаларно вектор [0;1] по единичния вектор, умножаваме скаларно по [u1;u2]. Умножаваме това по единичния вектор, по [u1;u2]. Това изглежда сложно, но ще се опрости, когато работим с действителни трансформационни матрици. Да го направим. Като умножим скаларно тези два вектора, какво получаваме? Ще го запиша ето тук. Матрицата А става 1 по u1 плюс 0 по u2. Това е просто u1. Всичко тук се опростява до u1, когато умножим скаларно тези два вектора. По [u1;u2]. Това ще е първият стълб. Вторият стълб, като умножим скаларно тези два вектора, получаваме 0 по u1 плюс 1 по u2. Получаваме u2 по единичния вектор, по [u1;u2]. Ако извършим умножението, какво ще получим? Просто ги записвам като стълбове, u1 по u1 е u1 на втора степен. u1 по u2 е равно на u1 по u2. u2 по u1 е равно на u2 по u1. После u2 по u2 е равно на u2 на втора степен. Ако ми дадеш произволен единичен вектор, аз ще ти дам трансформацията, която ти дава проекцията на някакъв друг вектор върху правата, дефинирана от този вектор. Това е прекалено многословно. Да се върнем към това, което правехме преди. Нека кажем, че искаме да намерим проекцията на произволен вектор върху дадена права– ще го начертая тук. Ще направим същия пример, който направихме в предишното видео. Ако имаме някакъв вектор v, който изглежда ето така. Нека вектор v = [2;1]. Това е вектор v. Как можем да намерим някаква трансформация за проекцията върху правата, дефинирана чрез вектор v? Върху тази права ето тук. Правата, дефинирана от вектор v. Първо трябва да превърнем вектор v в единичен вектор. Ще го превърнем в единичен вектор, който има същата посока. Единичен вектор u. Вече го направихме ето тук горе. Тук просто разделихме вектора v на дължината му. Да вземем вектор v и да го разделим на дължината му. Единичният вектор е това: 1 върху корен квадратен от 5, по вектор v. Това беше 1 върху корен квадратен от 5, по нашия вектор v. Тук започваме с единичния вектор. Конструираме тази матрица и получаваме нашата матрица на трансформацията. Ако това е единичният вектор u, каква ще бъде матрицата на трансформацията? Това е вектор u. Тогава матрицата ни ще е равна на (u1)^2 – колко е (u1)^2? Ще го преработя малко. Единичният вектор u, който дефинира тази права, е равен на вектор 2 върху корен квадратен от 5, и 1 върху корен квадратен от 5. Само умножих по тези числа. Ако искаме да конструираме тази матрица, получаваме А е равно на (u1)^2. Колко е това на квадрат? Това е 2^2 е 4, върху корен квадратен от 5, на квадрат, което е просто 5. Равно е на 4/5. Колко е u1 по u2? 2 по 1 върху корен квадратен от 5 по корен квадратен от 5. Значи това е 2/5. Просто умножих тези двете. Колко е u2 по u1? Същото като горе. Редът няма значение при умножението. Това също е 2/5. Колко е u2 на квадрат? 1^2 върху корен квадратен от 5, на квадрат, това е 1/5. Сега можем да кажем, и това е хубавото нещо, свързано с конструирането на тези матрици – ако има някаква... нека това тук да е началото на координатната система. и тук имаме някакъв друг вектор х. Сега можем да дефинираме нашата трансформация. Проекцията върху правата L, като правата L съдържа всички мащабирани версии на вектор u. Това е ето тук. Получена при мащабиране на вектор u с реалните числа. Това е правата L. Проекцията на произволен вектор х върху правата L е равна на тази матрица – матрицата [4/5; 2/5; 2/5;1/5] по вектор х. Което е страхотен резултат, поне за мен. Отново сведохме всичко просто до умножение с матрица. Взимаш този вектор х и го умножаваш по тази матрица и ще получиш неговата проекция върху правата L. Ако вземеш този вектор, ако го умножиш по тази матрица, ще получиш неговата проекция върху правата L. Можеш да вземеш този вектор – не, трябва да минава през началото на координатната система. Искам да го начертая в стандартно положение. Ако вземеш този вектор и го умножиш по тази матрица, ще получиш ето този вектор, който принадлежи на правата. Когато го извадиш от това, ще получиш неговия ортогонален вектор. Знаем определението. Това е един вид сянката на този вектор. Мисля, че това е много хубаво.