Ротация в R3 спрямо оста х

В последното видео дефинирахме трансформация чрез ротация на произволен вектор в R2, при която се получава завъртяна версия на този вектор в R2. В това видео аз ще разширя това, защото ще го направим в R3. Ще дефинирам една трансформация чрез ротация. Ъгълът отново ще е тита. Изобразяването този път е от R3 в R3. Вероятно се досещаш, че ротацията на даден ъгъл става малко по-трудно, когато имаме три измерения. В този случай ще имаме ротация около оста х, ще я означа като... значи ротация около оста х. Това, което ще направим в това видео, после можеш да го използваш и за други оси. Ако имаш ротация около оста х, а после около оста у, и после около оста z, при различни ъгли, можеш просто да прилагаш трансформациите последователно. Ще разгледаме това по-подробно в следващо видео. Но сега трябва да получиш един вид инструментите, които ще ти помогнат да приложиш наученото в предното видео за по-общи случаи с повече измерения, особено за три измерения. Искам да поясня какво ще правим сега. Ще начертая няколко оси. Това е оста х. Това е оста у. Това е оста z. Това разбира се, е R3. Ще завъртаме вектори тук в R3 обратно на часовниковата стрелка и спрямо оста х. Ще правим такова завъртане. Ако имаме един вектор – ще чертая в равнината zy, защото е малко по-лесно за визуализиране – ако имаш вектор в равнината zy, той ще си остане в равнината zy. Но ще бъде завъртян обратно на часовниковата стрелка на ъгъл тита, ето по този начин. Малко по-трудно е да се покаже, когато имаме вектор, който не е само в равнината zy. Ако имаме някакъв вектор, който има някакъв компонент х, който идва ето така насам, после някакъв компонент у и някакъв компонент z, той ще изглежда ето така. Когато го завъртаме, неговите компоненти z и y ще се променят, но компонентът х ще остане същия. Тогава може би ще изглежда приблизително ето така. Да видим дали мога да го направя. После векторът, когато го завъртим, може би ще изглежда като нещо такова. Не знам дали го правя особено точно, но това е при ротация около оста х. Мисля, че разбираш какво имам предвид. Въз основа на предишното видео искам да конструираме една трансформация. Ще нарека тази трансформация "тройна ротация на ъгъл тита", тъй като сега се намираме в R3. Това, което искаме да направим, е да намерим матрица, така че да мога да запиша трансформацията на вектор х чрез тройна ротация на ъгъл тита като някаква матрица А по вектор х. Понеже това е трансформация от R3 в R3, тогава това ще бъде матрица 3 по 3. В последното видео видяхме, че за да определим това, само трябва да приложим трансформацията към единичната матрица. Значи ще започнем с единичната матрица в R3, която ще бъде просто 3 по 3. Тя ще бъде [1;0;0;0;1;0;0;0;1]. Всеки стълб представлява базисен вектор в R3. Това са е1, е2, е3 – може би ги записвам твърде дребни, и не ги виждаш добре, но всички тези стълбове са базисни вектори за R3. Това, което искаме да направим, е да приложим трансформацията към всеки от тези базови вектори на R3. Значи нашата матрица А ще изглежда ето така. Матрицата А ще е с размери 3 по 3. Тук първият стълб ще бъде нашата трансформация, тройна ротация на ъгъл тита, приложена към този стълб, вектор-стълба [1;0;0]. После ще я приложа към средния вектор-стълб. Сигурно разбираш, не искам да пиша всичко това отново. Ще приложа тройна ротация на ъгъл тита тук към [0;1;0]. После ще ги приложа към – ще го направя тук – тройна ротация на ъгъл тита. Ще ги приложа към последния вектор-стълб, към [0;0;1]. Правили сме го много пъти. Да го приложим. Да завъртим всеки от тези базисни вектори в R3. Първият от тях около оста х. Този първият, ако трябваше да го начертая в R3, как щеше да изглежда? Той има посока само в посоката х, нали? Ако наречем това измерението х, тогава първият елемент съответства на измерението х, вторият елемент съответства на измерението у, а третият компонент съответства на измерението z. Този вектор ще е единичен вектор, който се простира ето така, нали? Ако трябва да завъртя този вектор около оста х, какво ще се случи? Ами нищо. Това е оста х. Когато го завъртим, той не си променя посоката или дължината, или каквото и да е. Значи този вектор тук ще бъде вектор [1;0;0]. Нищо не се случва, когато го завъртим. Сега това е малко по-интересно. За да направим тези, трябва да начертая осите у и z. Ще начертая оста z. Това е оста z, а това е оста у ето тук. Този базисен вектор е с дължина 1 само в посока у. Той изглежда ето така. Има дължина 1. След това го завъртаме около х, ще го начертая ето така, можеш да си представиш оста х, която просто излиза от екрана на компютъра ти. Мога да го начертая ето така, като връх на копие, което излиза оттук. Вместо да го чертая под ъгъл ето така, ще го начертая право навън от компютърния екран. Ако трябва да завъртим този вектор ето тук, този син вектор, да го завъртим на ъгъл тита, той ще изглежда ето така. Правихме го в предишното видео. Кои са новите му координати? Първо – дали координатата х изобщо ще се промени? Тя беше 0 преди, защото той не се простира в измерението х. Той лежи в равнината уz. Това беше 0. Когато го завъртим, той все още лежи в равнината уz. Така че неговият компонент х няма изобщо да се промени. Значи по посока х отново ще е 0. А колко ще е новата координата у? Тук правим съвсем същото, което направихме в предишното видео. Определихме, че това ще бъдат новите – предполагам, че не е задължително да правя тук вектора, но тази дължина ето тук ще бъде новият му компонент у. Тази дължина ето тук ще бъде новият компонент z. И колко е новият компонент у? В предишното видео го направихме, затова няма да навлизам в детайли – колко е косинус от тита? Дължината на този вектор е 1, нали? Това са стандартните вектори на базиса. Едно от нещата, което ги прави добър стандартен базисен вектор, е това, че дължината им е единица. Значи знаем, че косинус от този ъгъл е равен на прилежащата страна върху хипотенузата. Прилежащата страна е тази ето тук. Колко е хипотенузата? Тя е равна на 1. Значи прилежащата страна, която казахме, че ще е новият ни втори компонент, новият втори елемент в матрицата, ще е равна на косинус от тита, нали? Това е А. Можем да игнорираме това 1. Това ще е равно на косинус от тита. А колко ще е новият компонент z? Синус от тита е равно на срещулежащата страна, това е тази страна, върху 1. Значи това е равно на срещулежащата страна. Дължината на тази срещулежаща страна е компонентът z на този вектор след ротацията. Значи тук получаваме синус от тита. Сега просто трябва да направим всичко в посока z. Значи този z базисен вектор ето тук – как ще изглежда той на чертежа? Ще начертая това отново, просто за да станат нещата малко по-чисти. Това е оста z, а това е оста у. Базисният вектор по z е е3 и изглежда ето така. Той е само в посока z. Сега, първо да го завъртим на ъгъл тита. Ще го завъртя ето така. Това е ъгъл тита. Предишният му компонент х беше 0. Той не се простира в посока х въобще. Разбира се, ние пак сме в равнината zу, така че той не се простира по посока х. Това тук пак ще е нула. А какъв е новият у компонент? Новата координата у, може би мога да се изразя така, ще бъде тази дължина, или ще бъде тази координата ето тук. Как можем да намерим това? Тази дължина е същата като тази дължина. Ако наречем това срещуположната страна на този ъгъл, знаем, че синус от тита е равен на срещуположната страна върху дължината на хипотенузата на този вектор, която е просто 1. Значи това е равно на срещуположната страна. Срещуположната страна ще е равна на синус от тита. Но новата ни координата е наляво от оста z, така че това ще бъде със знак минус. Видяхме това в предишното видео. Това ще бъде просто минус синус от тита. Тази точка ето тук, тази координата. Това е минус синус от тита. И накрая – каква е новата координата z? Тя ще бъде тази дължина ето тук. Знаем, че тази дължина – ако наречем тази страна прилежаща, тогава косинус от тита е равен на прилежащата страна, разделена на 1. Значи това е равно на прилежащата страна, затова тук поставям косинус от тита. И получихме нашата матрица на трансформацията. Готови сме. Това е матрицата А на трансформацията. Сега можем да разгледаме нашата нова трансформация, което е целта на това видео. Наричам я тройна, защото това е ротация в R3. Може би трябва да я наричам 3 с индекс Х, защото това е ротация около оста х, но мисля, че ти схващаш идеята. Тя е равна на тази матрица тук – може би трябва да я препиша. Ще я направя по следния начин. Ще изтрия всичко това, за да не се налага да я преписвам. Значи трансформацията, на която е посветено това видео, тройна ротация на ъгъл тита на вектор х, тази трансформация е равна на тази матрица по произволен вектор х в R3. Тук може да кажеш: "Сал, това изглежда съвсем същото като това за две измерения. Ако си спомняш предишното видео, когато дефинирахме ротация в R2, имахме матрица на трансформацията, която изглеждаше подобно на тази. И това е логично, защото всъщност ние просто въртим нещата обратно на часовниковата стрелка в тази равнина zy. Сега може да кажеш: "Сал, за какво служи това? Ти го разшири за три измерения, или за R3, но аз видях какво направи в R2. За какво служи това? Това е един вид частен случай, в който въртиш само около оста х." Направих го по две причини. Едната е да ти покажа, че може да се пренесе за R3. Другата причина е: ако помислиш за това, много от ротациите, които може да искаш да направиш в R3, може да бъдат описани с въртене около оста х първо – което направихме в това видео, а после с въртене около оста у и след това с въртене около оста z. Това е просто частен случай, в който разгледахме ротация около оста х. Можеш да направиш съвсем същото, за да дефинираш матриците за трансформация чрез ротация около оста у или оста z, а после можеш да ги използваш последователно. Ще говорим много за това в бъдеще, когато ще започнем да прилагаме една трансформация след друга. Надявам се, че намираш това за полезно поне малко. Това е просто продължение на това, което направихме в R2.