Единични вектори

Разглеждахме дължината на вектор преди много, много уроци. И аз осъзнах, че всъщност съм пропуснал да разгледам една важна тема. Това ще е полезно, когато правим някои видове трансформации – всъщност проекции, които ще разгледаме в следващия урок. Понятието, което пропуснах да разгледам, е понятието единичен вектор. Това е просто вектор с дължина единица. Той има дължина и ние сме дефинирали какво е дължина. Той има дължина 1. За да бъде единичен един вектор, да кажем, че вектор u тук е единичен вектор, който принадлежи на Rn. Тогава това означава, че ако имаме вектор u, той изглежда ето така, той има n компонента, u1, u2 и така нататък до un. Знаем колко е дължината на този вектор, нали? Знаем, че дължината на u, понякога наричана норма на u, е просто равна на корен квадратен от сумата на квадратите на всичките му компоненти. Ако се замислиш за това, това е просто разширение на питагоровата теорема в известен смисъл. Това е u1 на квадрат плюс u2 на квадрат и така нататък до un на квадрат. И е корен квадратен от този сбор. Ако това е единичен вектор, значи това е единичен вектор, това означава, че дължината на u ще бъде равна на 1. И няма значение в колко мерно пространство сме. Това може да е R100, може да е R2. За да бъде единичен вектор в някое от тези пространства, дължината му трябва да е единица. Следващият очевиден въпрос е как можем да конструираме единичен вектор. Да кажем, че имаме някакъв вектор v. Да кажем, че този вектор не е единичен. Той е v1, v2 и така нататък, чак до vn. Искам да го превърна в някакъв вектор u, който е единичен вектор, и който има същата посока. Значи вектор u има същата посока като вектор v, но дължината на u е равна на единица. Как мога да конструирам моя вектор u? Това, което мога да направя, е да взема дължината на v. Мога да намеря дължината на вектор v, а ние знаем как да направим това. Просто прилагаме определението за дължина на вектор. А какво ще стане, ако намеря дължината на вектор v, а после умножа вектор v по това? Ако направя вектор u, ако кажа, че той е равен на 1 върху дължината на вектор v по самия вектор v? Какво ще се случи? Ако взема дължината на това нещо ето тук, какво ще получа? Дължината на вектор u е равна на дължината на този скалар. Спомни си, че това е просто едно число, нали? Равен е на този скалар, като приемам, че вектор v е ненулев вектор. Дължината на какъвто и да е този скалар по v. Знаем, че можем да изнесем скалара от формулата, можем да покажем, че... мисля, че съм го показвал в предишно видео – че дължината на с по v е равна на с по дължината на v. Ще го запиша. Точно това приемам тук. Че ако взема дължината на с по някакъв вектор v, това е равно на с по дължината на вектор v. Мисля, че доказвах това, когато въведохме понятието за дължина. Значи знаем, че това ще е равно на 1 върху дължината на вектор v – това е моето с – по... това нещо тук е това ето тук, значи по това нещо, по дължината на вектор v. На какво ще е равно това? 1 върху нещо по това същото нещо. Това ще е равно просто на 1. Ето това е всичко, което е един единичен вектор. Ако искаш да намериш единичен вектор, който понякога се нарича нормален вектор – той е в същата посока като вектор v, просто намираш дължината на v с помощта на определението за дължина на вектор в Rn. После я умножаваш по 1 върху дължината на вектор v – това е просто скалар – и тогава получаваш твоя единичен вектор u. Ще направя един пример, за да се уверя, че го разбираш. Да кажем, че имаме някакъв вектор v в R3. Нека той да е [1;2;–1]. Колко е дължината на v? Дължината на v е равна на корен квадратен от 1 на квадрат плюс 2 на квадрат, плюс –1 на квадрат, и това е равно на корен квадратен от 1 плюс 1 плюс 4, т.е. корен квадратен от 6. Значи това е дължината на вектор v. Ако искам да конструирам нормалния вектор u, който е в същата посока като v, тогава просто ще дефинирам u да е равен на 1 върху дължината на вектора v, което е 1 върху корен квадратен от 6, и това умножавам по v. Значи по [1;2; –1]. Това е равно на 1 върху корен квадратен от 6, 2 върху корен квадратен от 6, –1 върху корен квадратен от 6. Оставям на теб да провериш дали дължината на вектор u ще бъде равна на 1. Аз ще спомена още нещо, което ще срещаш често. Когато един вектор е единичен, вместо да използваме тази малка стрелка отгоре над вектора, често се записва единичния вектор с малка шапчица над него, ето така. Това показва, че това е единичен вектор. Ако познаваш векторния математически анализ, или ако си учил/а малко инженерни дисциплини, вероятно познаваш векторите i, j и k. И това е причината те да имат тези малки шапчици тук, защото те са единични вектори в R3. Те принадлежат на R3 и са единични вектори. Всъщност те представляват базиса на R3. Ако не си гледал/а моите видеа за трансформациите, това е еквивалентно на векторите е1– мога да ги запиша с шапчици отгоре – е2 и е3. Което са стандартните вектори на базиса на R3. Сега, след като се запозна с това, мога да започна да използвам понятието единичен вектор в бъдещите уроци.