Формула за кривина на произволна крива, част 1

В последното видео разгледахме кривина и радиус на кривината, като аз направих едно изцяло геометрично описание, в което казахме, че можем да си представим, че караме по един път, когато изведнъж воланът блокира и описваме окръжност, чийто радиус искаме да определим, радиусът на тази траектория, която изминаваме в околностите на пътя, като резултат, и казах, че използваме един специален символ, че означаваме кривината с малката гръцка буква капа (а у нас със "С"), и че тя е равна на едно върху радиуса. Причината да използваме това е, че искаме голяма стойност на капа – искаме стойността на кривината да е голямо число при остър завой, при остър завой радиусът е малък, но тогава кривината е голяма. Въпросът е как можем да опишем това по един математически по-издържан начин. Ще изчистя тук, ще изтрия самата окръжност и целия този радиус, за да остане само тази кривина. Начинът, по който обикновено описваме една крива като тази, е параметрично, така че използваме някаква векторна функция S с входна стойност някакъв параметър t, и изходна стойност с координати х и у, които са функция от t. Това е координатата х от t, а това е координатата у от t. В този конкретен случай ще ти кажа, че тази крива, която начертах, може да се параметризира като 1 минус синус от t, като функцията за компонента х, не, грешка, това е t минус синус от t, а компонентът у е 1 минус косинус от t. Така описваме кривата, която начертах. Начинът, по който разглеждаме това, е, че за всяка стойност на t получаваме определен вектор, който започва от кривата, а при промяната на t този вектор се променя, но върховете на тези вектори един вид очертават цялата крива. Можеш да си представиш, че векторът, който очертава кривата, когато t се променя. Начинът да изразим кривината математически е... ще разчистя малко, за да имам място – начинът е да вземем тези тангенциални вектори, така че си представи едничния тангенциален вектор във всяка конкретна точка, и искаме да разберем колко бързо тези вектори си променят посоката. На тази малка схема, която начертах тук, аз просто ще нарека този вектор t1, като първия тангенциален вектор, t2, t3, като не съм уточнил къде започваме или нещо такова, просто искам да добиеш представа, че имаме различни тангенциални вектори. Искам само да кажа, че всички те, всеки едно t с някакъв долен индекс има дължина единица. Идеята за кривината е да видим колко бързо този единичен тангенциален вектор си променя посоката. Така че можеш да си представиш съвсем различно пространство, което по-скоро показва всеки един вектор на кривата. Да видим как ще изглежда, ако просто представим всеки вектор с неговата собствена посока в някаква друга точка. Този вектор тук ще е t1, t2 ще сочи малко надолу, t3 се сочи малко повече надолу. Всички тези вектори – този ще е t1, този ще е t2 – това са същите вектори, като аз ги чертая всичките с едно общо начало, така че да е малко по-лесно да видим каква е тяхната посока, и искам да разбера каква е промяната от t 1 до t 2, дали те сключват голям ъгъл помежду си. А когато отиваме от t2 до t3, дали ъгълът между тях също е голям? Така можеш да видиш, че когато имаме една крива, и ако кажем, че... ако имаме една крива, която е силно извита, знаем, че тя изглежда ето по този начин, тогава единичният вектор, единичният тангенциален вектор в тази точка си променя посоката много бързо за кратко разстояние, има разлика примерно 90 градуса. В същото време, ако вземем единичният тангенциален вектор тук и разгледаме как се променя той между тази точка и тази точка, той всъщност не си променя чак толкова посоката. Идеята за кривината е, че разглеждаме скоростта на изменение на този единичен тангенциален вектор, така че скоростта на изменение на t ... ще означа с главно Т функцията, която ни показва единичния тангенциален вектор във всяка точка. Ще взема скоростта на изменение изразена чрез параметъра малко t, което е това, което използваме при параметризация на кривата, защото няма значение как параметризираме кривата, можем да караме много бързо или много бавно. В случая ние търсим само скоростта на изменение по отношение на дължината на дъгата. Тук ще използвам променливата s, с която означавам дължината на дъгата, а това означава, че ако правим много малки стъпки, разстоянието на тези стъпки, действителното разстояние в равнината ху е това, което приемаме като дължина на дъгата. Можеш да си представиш, че това е наистина много малка стъпка, която съответства на ds, много малка промяна на дължината на дъгата. Значи това е величината, която ни интересува. Колко се променя този единичен тангенциален вектор по отношение на една малка промяна на дължината на дъгата. Досещаш се, ако се придвижим по кривата, например ако изминем едно малко разстояние 0,5, дали този единичен вектор се променя много или малко? Но аз трябва да прибавя тук нещо, тази малка промяна на вектора, която ще ти покаже, какво свързва върховете на тези два вектора, това е една векторна величина, а кривината е просто едно число. Това, което наистина ни интересува, е размерът ето тук. това е една векторна величина, а тя показва точно колко се извива кривата. Ако кривата завива по-остро, тогава изминаваме някакво разстояние, а после изведнъж промяната на тангенциалните вектори става много малка, което означава, че имаме голяма кривина. В следващия урок ще разгледаме как изглежда това, как разсъждаваме относно тази тангенциална векторна функция, тази функция от единичния тангенциален вектор, и какво означава да намерим производната по отношение на дължината на дъгата. Ще стане малко объркано що се касае до използваните символи, но това, което през цялото време трябва да си представяш, е тази окръжност, която един вид много плътно приляга на кривата, в някаква точка, а това означава, че намираме големината на скоростта на изменение на единичния тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата, това е достатъчно, за да изразим това понятие.