Кривина на циклоида

Да решим още един пример за определяне на кривина. Сега ще разгледаме една двумерна крива, ще имаме два компонента, х от t и у от t, като конкретните компоненти са t минус синус от t и после 1 минус косинус от t. Това по същество е кривата, която показах в първото видео, което направих за запознаване с понятието кривина – ето тази крива. Това е кривата, за която казах: "Представи си, че шофираш по един път, и ако воланът ти блокира, си представи, че започваш да се въртиш в кръг, като в различните точки от пътя ще завиваш в различна степен, така че окръжностите, които ще се получат, биха имали различни радиуси. Ако кривината е голяма, тогава навиваш много волана, а радиусът на кривината е малък и така нататък. Но сега ще изчислим кривината за този пример. Последният пример, който разгледахме, разсъждавахме за производната на единичния тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата, но в този случай вместо това просто ще покажа какво се случва, когато използваме явната формула, която е х прим по у прим прим, минус у прим по х прим прим, цялото разделено на х прим на квадрат плюс у прим на квадрат. Когато пишем х прим и у прим и така нататък приеми, че всички те са когато променливата е t. Малко ме домързя да го напиша. След това повдигаме този израз на степен три втори. Така че това е формулата, а аз не обичам да помня наизуст формули с надеждата да ги приложа по-късно. Мисля, че това, което трябва да запомниш от уроците за кривина е това, че тя е производната на единичния тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата и ако ти е нужно, можеш просто да намериш формулата. Заслужава си да се отбележи, че формулата улеснява изчисляването, защото намирането на тангенциалния вектор и всичко останало може да е като преоткриването на колелото, когато вече имаш този резултат ето тук. Първото, което ще направя, е да намеря х прим, у прим прим, у прим и х прим прим. Хайде да ги запишем. Първата производна на х от t, ако погледнем тук горе, компонентът е t минус синус от t. Така че производната е 1 минус косинус от t. Производната на у-компонента, който е 1 минус косинус от t, производната у прим от t ще бъде – производната на косинус е минус синус, така че със знак минус отред получаваме синус, а 1 е просто константа. (т.е. производната е нула) После, когато намираме вторите производни – ще сменя цвета за вторите производни – х прим прим от t – сега намираме производната на първата производна, като аз всъщност току-що я намерих, защото по съвпадение първата производна на х е същата като у-компонента, така че х прим прим също е равно на синус от t. После у прим прим е просто производната на синус, така че тя е косинус от t. Сега само заместваме тези четири величини във формулата за капа, кривината, и получаваме... х прим е 1 минус косинус от t, умножено по у прим прим, което е косинус от t. Изваждаме у прим, което е синус от t, умножено по х прим прим, което също е синус от t. Можем да кажем синус на квадрат от t, Цялото това е делено на х прим на квадрат, като х прим е 1 минус косинус от t, на квадрат, плюс у прим на квадрат, като у прим е просто синус, значи става синус на квадрат от t. Целият израз е на степен три втори. Това е нашият отговор, нали? Приложихме формулата и получихме отговора. Например, когато чертаех кривата, аз казах на компютъра да начертае подходящата окръжност, аз не минах през всички стъпки "намери единичния тангенциален вектор, диференцирай по отношение на дължината на дъгата", въпреки че това е доста лесно да се направи в случая, когато имаме окръжности и спирали. Вместо това просто зададох тази формула. Погледнах я, защото бях я забравил, и намерих радиуса на кривината по този начин.