Формула за кривина на произволна крива, част 2

В последното видео разгледахме формулата за изчисляване на кривината на произволна крива. Само да си припомним – представи си, че е дадена някаква произволна крива в едно двумерно пространство, което избирам за простота. Кривата е параметризирана чрез функцията S от t. Всяка стойност t съответства на някаква точка от кривата. За да намерим кривината на тази крива разглеждаме единичните тангенциални вектори. Как изглежда единичният тангенциален вектор във всяка отделна точка? Самата кривина, която означаваме с гръцката буква капа, (а у нас често със "С"") е скоростта на изменение на тези единични вектори – един вид колко бързо те си променят посоката, но не по отношение на параметъра t, а по отношение на дължината на дъгата ds. Тук под дължина на дъгата имам предвид една малка стъпка – представи си размера на една малка стъпчица по кривата, която е ds. Задаваме си въпроса дали една такава малка стъпка променя значително единичния тангенциален вектор или го променя по-малко. Малко схематично казано, но можеш да си представиш едно съвсем отделно пространство, в което всеки един от тези единични тангенциални вектори – поставяме тези вектори в това пространство, което може да изглежда приблизително по следния начин – този вектор сочи надолу и надясно, така че той изглежда приблизително по този начин. Този вектор сочи много надолу. Задаваме си въпроса: когато правим тези малки стъпки с размер ds, тогава каква е промяната на единичния тангенциален вектор – тази промяна също ще бъде някакъв вектор. Понеже кривината по същество е просто стойност, едно число, нас ни интересува само дължината на този вектор. Големината на промяната на тангенциалния вектор, когато правим една малка стъпка ds. Това е доста абстрактно, нали? Имаме тези две напълно различни неща, които не са първоначалните функции, които разглеждаме. Разглеждаме тази функция от единичните тангенциални вектори, а после разглеждаме понятието дължина на дъгата. Причината, между другото, да използвам s тук, както и тук за параметричната крива е, че всъщност тези две неща са свързани. Но ще обсъдим това малко по-късно. За да стане ясно какво имам предвид, ще разгледаме един пример, в който параметричната крива по отношение на t е двойка косинус-синус. Косинус от t е х-компонентът, а синус от t е у-компонентът. За да не бъде много скучно, да умножим двата компонента по константата r. Това означава – може би го разпознаваш – двойката косинус-синус означава, че в тази равнина ху всъщност чертаем една окръжност с радиус r. Това е някаква окръжност с радиус r. Докато разглеждаме този пример, искам да обърна внимание как биха изглеждали нещата малко по-абстрактно. Ако имаме просто s от t равно – но не на някаква конкретна функция, както съм дал тук, а равно просто на някаква функция като х-компонент и като у-компонент... Искам да разгледаме пример с конкретна функция, защото така е по-разбираемо и лесно, нещо, с което можем да работим, но е толкова просто, че не ни показва цялата сложност в общия случай, който е по-сложен, така че по същество ще обърка нещата твърде много. Затова е хубаво да разгледаме двата случая паралелно. Първата стъпка е да разберем какъв е този единичен тангенциален вектор. Каква е тази функция, която във всяка отделна точка ни дава единичния тангенциален вектор към кривата. Първо трябва да разберем, че вече имаме представа какво ще ни даде тангенциалния вектор – производната на на нашата векторна функция като функция от t, посоката, в която сочи, е посоката на допирателната. Ще се преместя ето тук и ще изчисля производната, ще кажа, че s прим от t, тук просто трябва да намерим производните на двата компонента, така че производната на косинус е минус синус от t, умножено по r, а производната на синус е косинус от t, умножен по r. В общия случай, това ще бъде просто – винаги, когато имаме функция с два компонента, просто намираме производните на всеки от компонентите ѝ. Надявам се, че това ти е познато, но ако не е, можеш да гледаш уроците за намиране на производна на функция от радиус-вектор. Това можем да интерпретираме като този тангенциален вектор, но това може и да не е единичен вектор, нали? Трябва ни единичен тангенциален вектор, защото той ни показва само посоката. Сега ще го нормализираме и получаваме функция от единичния тангенциален вектор, която ще означа с главно Т от малко t, което е малко объркващо, нали? Главно Т е тангенциалният вектор, а малко t е параметър. Ще се опитам да не ги обърквам. Това е стандратният начин за обозначаване, но той крие опасност да се получи объркване. Равно на нашата векторна производна s прим от t, но нормализирана. Така че трябва да разделим на дължината на вектора като функция от t. В този случай, в един конкретен пример тази дължина... ако вземем минус синус от t, умножено по R, а после косинус от t, умножено по R, получаваме дължината на целия вектор, и получаваме... ще си направя още място тук – получаваме корен квадратен от синус на квадрат, минус синус на квадрат е просто синус на квадрат, така че синус на квадрат от t, умножено по R на квадрат, а след това тук косинус на квадрат по R на квадрат, квадрата на косинус от t по R на квадрат, можем да изнесем това R на квадрат извън корена, изнасям го и то става R. Под корена остава синус на квадрат плюс косинус на квадрат. В момента ме мързи да напиша t, защото независимо какво е това t, всичко това тук е просто равно на 1. Цялото това нещо е равно просто на R. Това означава, че нашият единичен тангенциален вектор ето тук е нашата първоначална функция, но разделена на R. Това е просто една константа, което обикновено не е така, но в този случай това е константа. Как изглежда това, ако нашата първоначална функция е минус синус от t по R и косинус от t по R. Делим на R и крайната функция, която получаваме, е просто минус синус от t и после косинус от t. Понеже се опасявам, че клипът стана твърде дълъг, мисля да спра дотук и да продължа разсъжденията в следващото видео.