Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 8: Производни на векторни функции (уроци)

Кривина

Класна стая на Google

Как измерваме колко крива е всъщност една крива?

Преговор

Производни на векторни функции

Основни идеи

Радиусът на кривината в дадена точка от кривата е, най-общо казано, радиусът на окръжността, допираща се най-точно до кривата в тази точка.
Кривината, обозначена с гръцката буква капа ( $κ$ ‍), е реципрочната стойност на този радиус. Забележка: у нас кривината понякога се означава и с "С" (от curvature).
Като формула, кривината е равна на абсолютната стойност на производната на тангентния вектор спрямо дължината на кривата:
$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍
В тази статия ще научим как се пресмята тази стойност.
Тангентният вектор представлява посоката, в която кривата се "движи", а нейната "скорост" спрямо отмествания с размер $d s$ ‍ по кривата е добър индикатор за нейната кривина.

Шофиране по крива

Разглеждаме произволна крива в равнината. Засега да обърнем внимание само на графиката ѝ:

Представи си, че шофираш по протежение на кривата и искаш да разбереш колко трябва да навиваш волана във всеки даден момент. В някои точки "улицата" е почти права, а в други има остри завои.

Ако в някой определен момент механизъм заключи волана в съответната му позиция, то колата ще продължи да се движи и ще опише окръжност (отбелязана в зелено):

Ако воланът е завъртян повече в момента, в който механизмът се задейства, тази окръжност ще има по-малък радиус. Ако колата се е движела почти направо, то окръжността ще има голям радиус. Следната анимация показва тези окръжности (отбелязани в зелено) в различни точки от кривата. Радиусът на всяка една окръжност е отбелязан в червено.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Радиусът, съответстващ на всяка точка от кривата, се нарича радиус на кривината в точката. Този радиус измерва колко крива е кривата в тази точка.

Другият важен термин в тази статия е кривина, реципрочната стойност на радиуса на кривина. Кривината често се обозначава с гръцката буква

κ

(капа):

κ = \frac{1}{R}

Упражнение: Когато дадена крива е почти права линия, кривината ѝ е

Как пресмятаме кривина

Дадена е графиката на функция в равнината. Например, нека

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Това е векторен запис на функцията, параметрично зададена чрез уравненията

$\begin{aligned} x (t) & = t - \sin (t) \\ y (t) & = 1 - \cos (t) \end{aligned}$ ‍

Намирането на кривината на тази функция включва две основни стъпки:

Стъпка 1: Намиране на единичния тангентен вектор

"Единичният тангентен вектор" към кривата в дадена точка е, както бихме предположили, тангентен вектор с дължина

1

. За параметрична крива

\vec{s} (t)

, намирането на един тангентен вектор обикновено включва намиране на всички единични тангентни вектори и заместване на определена стойност на

t

. Търсим векторна функция

T (t)

, чиито стойности съответстват на единичните тангентни вектори по кривата в точките

\vec{s} (t)

Стъпка 2: Намиране на $\frac{d T}{d s}$ ‍

При движение по кривата

\vec{s} (t)

единичният вектор променя посоката си според кривината. При остри завои се променя много, а в сравнително прави участъци се променя малко. Всъщност дефиницията на кривината

κ

е производната на тангентния вектор.

Няма особен смисъл да разглеждаме производната по

t

, тъй като нейната стойност зависи от скоростта, с която се движим по кривата. Вместо това търсим производната спрямо единица дължина на дъга от кривата (обозначена с

s

$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍

Обикновено пресмятаме тази стойност като отношението на производната на

T

спрямо параметъра

t

| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |

$| | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Намиране на единичния тангентен вектор

Нека се върнем към дадената функция:

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - \sin (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

В статията за производни на векторни функции научихме, че производната на тази функция е вектор на скоростта, с която се движим по кривата.

$\frac{d \vec{s}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t - \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (1 - \cos (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Например, ако заместим

t = π

във формулата за производната, получаваме:

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 - \cos (π) \\ \sin (π) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}] \end{array}

С отправна точка

\vec{s} (π)

, този вектор представлява скоростта на частица, която се движи по кривата, в момента

t = π

Тъй като търсим единични вектори, трябва да нормализираме получената производна. Например тангентния вектор, който току-що пресметнахме, има дължина

2

, а

2 \neq 1^{[това не се нуждае от доказване, нали?]}

Упражнение: Според формулата за

{\vec{s}}^{'} (t)

\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

каква е дължината на тангентния вектор (като функция от времето

t

Избери един отговор:
(Избор А)
$\sqrt{\cos (t)^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍
(Избор Б)
$\sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍
(Избор В)
$\sqrt{1^{2} - \cos (t)^{2} + \sin (t)^{2}}$ ‍

Упражнение: Какъв е единичният вектор, успореден на вектора

\vec{v} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

? (Отговорът на това упражнение не е свързан с разглежданата задача, това е само упражнение с единични вектори.)

Избери един отговор:
(Избор А)
$[\begin{matrix} 2 / \sqrt{5} \\ 1 / \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍
(Избор Б)
$[\begin{matrix} 2 \sqrt{5} \\ 1 \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍

Ключов въпрос: Кой от следните изрази е единичният тангентен вектор към кривата

\vec{s}

(като функция от времето

t

Избери един отговор:
(Избор А)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
(Избор Б)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{\vec{s} (t) + {\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍

Тъй като производната ${\vec{s}}^{'} (t)$ ‍ е допирателна към кривата, тоест сочи в правилната посока, трябва само да я нормализираме. Затова делим вектора на неговата дължина.
$\begin{array}{r} \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \leftarrow Това винаги е единичен вектор \end{array}$ ‍
На практика тази дроб рядко изглежда приятно. В нашия случай получаваме
$\begin{aligned} \frac{1}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} {\vec{s}}^{'} (t) & = \frac{1}{\sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + \sin (t)^{2}}} [\begin{array}{c} 1 - \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} (1 - \cos (t)) / \sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + \sin (t)^{2}} \\ \sin (t) / \sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + \sin (t)^{2}} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Пресмятане на кривина с помощта на тангентния вектор

Вече знаем на колко е равен единичният тангентен вектор. От сега нататък ще го обозначаваме с

T

(главна буква, за разлика от параметъра

t

\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}

Кривината

κ

е абсолютната стойност на производната на единичния тангентен вектор, обаче спрямо дължината

s

на кривата, а не на параметъра

t

\begin{array}{r} κ = | | \frac{d T}{d s} | | \end{array}

Най-удобно е да пресметнем този израз като частното на производната на

T

спрямо параметъра

t

, и на

| | {\vec{s}}^{'} (t) | |

, което е просто

\frac{d s}{d t}

$κ = | | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Интуиция

Нека спрем за момент и помислим какво означават тези изрази. Производната на

T (t)

описва изменението на тангентния вектор с времето

t

. Тъй като този вектор винаги е единичен, се променя само неговата посока, но не и дължината.

В определен момент

t_{0}

векторът

\frac{d T}{d t} (t_{0})

с отправна точка

T (t_{0})

представлява вид "указание" за посоката на вектора

T (t)

след точката

T (t_{0})

Тъй като дължината на

T (t_{0})

не се променя, производната винаги е перпендикулярна на

T (t_{0})

; иначе производната би скъсила или удължила вектора.

Когато производната представлява дълъг вектор, тангентният вектор променя посоката си рязко. Съответно и кривата също променя посоката си, а радиусът на кривината в тази точка е малък. Това означава, че кривината е голяма. И обратното - ако производната е къса, тангентният вектор почти не променя посоката си, кривата почти не се извива и кривината е малка.

Основната идея обаче е, че кривината не трябва да зависи от скоростта, с която се движим по кривата, тъй като кривината е геометрично свойство на кривата, а не на формулата, чрез която е зададена. Затова търсим производната на

T

спрямо дължината на кривата

s

, а не на параметъра

t

Пример: Кривина на спирала

Описаният по-горе метод лесно се обобщава и за повече от две измерения. В този пример ще намерим кривината на следната функция:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

Анимацията по-долу изобразява кривата, още наричана спирала. Освен това виждаме и радиуса на кривината във всяка една точка като окръжност, оцветена в зелено. Съответния радиус е отбелязан в червено.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Окръжността изглежда като обръч, който се изкачва по кривата.

Първо, виждаме, че радиусът на зелената окръжност не се променя. Това е специален случай и за повечето криви това не е вярно.

Упражнение: Окръжностите, изобразени в анимацията, не променят радиуса си. Какво можеш да кажеш за кривината

κ (t)

Ако искаш да упражниш знанията си по темата, можеш да пресметнеш съответните производни и кривината сам/а преди да провериш отговорите.

Стъпка 1: Производна

Първата стъпка към намирането на кривината е намирането на производната на дадената функция,

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

Това ще бъде тангентният вектор към кривата, който след това ще трябва да нормализираме. Пресметни производната сам/а.

Стъпка 2: Нормализирай производната

За да получиш единичния тангентен вектор, трябва да нормализираш получената по-горе производна, тоест да го разделиш на дължината. Каква е дължината на векторната производна от предишната стъпка?

За щастие резултатът е константа. На колко е равен единичният тангентен вектор

T (t)

Стъпка 3: Намери производната на тангентния вектор

За да получиш кривината, сега трябва да намериш абсолютната стойност на производната на тази функция спрямо параметъра

t

. На колко е равна производната на

T (t)

Стъпка 4: Намери абсолютната стойност

Каква е дължината на този вектор?

Стъпка 5: Раздели на $| | {\vec{v}}^{'} (t) | |$ ‍

За да преминеш от

\frac{d T}{d t}

към

\frac{d T}{d s}

, трябва да разделиш на абсолютната стойност на производната на дадената в задачата функция.

Отговорът е константа, така че кривината е една и съща във всички точки от кривата.

Обобщение

Радиусът на кривината в дадена точка от кривата е, най-общо казано, радиусът на окръжността, допираща се най-точно до кривата в тази точка.
Кривината, обозначена с гръцката буква капа ( $κ$ ‍), е реципрочната стойност на този радиус. Забележка: у нас кривината понякога се означава и с "С" (от curvature).
За да намериш кривината на параметричната функция $\vec{s}$ ‍:
- Намери единичния тангентен вектор като нормализираш производната на $\vec{s}$ ‍:
  $\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
- Кривината е равна на абсолютната стойност на производната на $T (t)$ ‍ спрямо дължината $s$ ‍ на кривата. Можеш я пресметнеш по следния начин: