Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 8: Производни на векторни функции (уроци)

Производна на сложна функция на много променливи, опростена версия

Формулата за производна на сложна функция може да бъде адаптирана и за функции на много променливи. В тази статия виждаме как изглежда тази формула, когато композицията е функция само на една променлива.

Преговор

Основни идеи

Дадени са функциите $f (x; y)$ ‍, $x (t)$ ‍ и $y (t)$ ‍. Ето как изглежда формулата за производна на сложна функция на много променливи:

\underset{Производна на сложна функция}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t); y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Ако използваме запис като вектор: $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, формулата може да се изрази чрез градиента на $f$ ‍ и производната на $\vec{v} (t)$ ‍.

\underset{Производна на сложна функция}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Скаларно произведение}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

В общия случай

Формулата за производна на сложна функция на много променливи е просто обобщение на добре познатата ни формула за функции на една променлива, която ни казва как да пресметнем производната на композиция от две функции:

\frac{d}{d t} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \frac{d g}{d t} = f^{'} (g (t)) g^{'} (t)

Какво получаваме ако вместо една променлива

t

, функцията

f

има две променливи

(x; y)

f (x; y) = \dots някакъв израз, съдържащ x и y \dots

В този случай не можем да композираме със скаларна функция

g (t)

. Вместо това да разгледаме две скаларни функции

x (t)

y (t)

като аргументи на

f

. Композицията на тези общо три функции е скаларна функция на една променлива

t

, чиято (скаларна) стойност е

f (x (t); y (t))

, както е показано на диаграмата:

\begin{array}{rrcl} една изходяща стойност & f (x (t); y (t)) \\ ↗ & ↖ \\ две междинни стойности & x (t) & y (t) \\ ↖ & ↗ \\ една входна стойност & t \end{array}

Можем да използваме правилото за диференциране на сложна функция, за да намерим производната на тази нова функция на една променлива

f (x (t); y (t))

, която включва частните производни на

f

\begin{array}{ccccc} Как се променя f в резултат & на това как x се променя \\ поради една малка & поради една малка \\ промяна на x & промяна на t \\ ↘ ↙ \\ \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t}}} f (x (t), y (t)) & = & \underset{↑}{\underset{⏟}{\overset{⏞}{\frac{\partial f}{\partial x}} \overset{⏞}{\frac{d x}{d t}}}} & + & \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}}} \\ Това е обикновена производна, & Общата промяна на f & Общата промяна на f \\ не е частната производна \frac{\partial}{\partial t} & поради влиянието на & поради влиянието на \\ понеже сложната функция има & t върху x & t върху y \\ една входна и една изходна стойност. \end{array}

Изразът

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}

е просто съкратен запис на

\frac{\partial f}{\partial x} (x (t); y (t)) \frac{d x}{d t} (t)

И двата множителя са функции на

t

, но стойността на

\frac{\partial f}{\partial x}

се пресмята в точката (

x (t)

;

y (t)

Векторен запис

Вместо да разглеждаме функциите

x (t)

y (t)

отделно, можем да ги съберем в една векторна функция:

\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]

Тогава вместо

f (x (t); y (t))

имаме

f (\vec{v} (t))

Използвайки този запис, производната на сложна функция на много променливи е просто скаларното произведение на градиента на

f

и производната на векторната функция

\vec{v} (t)

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \underset{Представи сумата като скаларно произведение}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \frac{d y}{d t}}} \\ = \underset{\nabla f (\vec{v} (t))}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \end{array}]}} \cdot \underset{{\vec{v}}^{'} (t)}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} \end{array}]}} \\ = \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{aligned}

Вече лесно се вижда аналогията между познатата ни формула за производна на сложна функция и съответната формула за функции на много променливи:

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (g (t)) = f^{'} (g (t)) g^{'} (t) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t} \end{array}

Градиентът

\nabla f

изпълнява ролята на производна на

f

, а производната

{\vec{v}}^{'} (t)

съответства на производната на функцията

g

Интуитивно обяснение на формулата

За загрявка да си припомним обяснението на формулата за производна на сложната функция

f (g (t))

. Ето как разбираме тази композиция от функции:

Първо $g$ ‍ приема аргумента $t$ ‍ и го превръща в $g (t)$ ‍.
След това $f$ ‍ приема аргумента $g (t)$ ‍ и го превръща в $f (g (t))$ ‍

Производната на

f (g (t))

описва връзката между малка промяна на аргумента

t

и съответната промяна на крайната стойност на функцията.

Нека анализираме двата множителя в получената по-горе формула.

\frac{d}{d x} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t}

Членът $\frac{d g}{d t}$ ‍ показва влиянието на една малка промяна на $t$ ‍ върху междинната стойност $g (t)$ ‍.
$\begin{array}{r} \frac{d g}{d t} (t_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{g (t_{0} + h) - g (t_{0})}{h} \end{array}$ ‍
Ако направим стъпка от $t_{0}$ ‍ до $t_{0} + h$ ‍ за някаква малка стойност на $h$ ‍, стойносттта на $g$ ‍ ще се промени с приблизително
$(\frac{d g}{d t} (t_{0})) \cdot h$ ‍
Тази формула получаваме като умножим двете страни на горното уравнение по $h$ ‍. Когато $h$ ‍ клони към 0, грешката също клони към 0 и горният израз става равен точно на $g (t_{0} + h) - g (t_{0})$ ‍.

Членът $\frac{d f}{d g}$ ‍ показва влиянието на една малка промяна на $g$ ‍ върху крайната стойност $f (g (t))$ ‍.

Общата промяна на $f$ ‍ поради малка промяна на $t$ ‍ е резултат от тези две влияния.
В двата дадени израза, тъй като промяната на стойността на $g$ ‍ е резултат от малка стъпка с дължина $h$ ‍ от началната стойност $t_{0}$ ‍, то стойността на $k$ ‍ е приблизително
$k \approx (\frac{d g}{d t} (t_{0})) \cdot h$ ‍.
След заместване на израза за $k$ ‍, общата промяна на стойността на $f$ ‍ е $\begin{array}{r} (\frac{d f}{d g} g (t_{0})) \cdot (\frac{d g}{d x} (t_{0})) \cdot h \end{array}$ ‍
Колкото по-малка е стойността на $h$ ‍, толкова по-точно е това приближение.
Предизвикателство: Пресметни границата
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (g (t_{0} + h)) - f (g (t_{0}))}{h} \end{array}$ ‍
използвайки дефинициите на $\frac{d f}{d g}$ ‍ и $\frac{d g}{d t}$ ‍.
(Подсказка: Първо замести $g (t_{0} + h)$ ‍ с някаква гранична стойност.)

Обобщение за повече измерения

Ще използваме същите аргументи, но приложени в многомерното пространство. Векторът

\vec{v}

съпоставя точка в равнината на всяка стойност на аргумента

t

, а

f (\vec{v} (t))

превръща тази точка в равнината отново в скаларна стойност. Въпросът тук е: какъв е ефектът на малка промяна в стойността на

t

върху стойността на

f (\vec{v} (t))

Нека разделим на части формулата за производна на сложна функция на много променливи, като покажем компонентите ѝ спрямо функциите

x (t)

y (t)

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) = \frac{d}{d t} f (x (t); y (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Членът $\frac{d x}{d t}$ ‍ показва как малка промяна на $t$ ‍ влияе на междинната стойност $x (t)$ ‍.

Съответно членът $\frac{d y}{d t}$ ‍ показва как една малка промяна на $t$ ‍ влияе на втората междинна стойност $y (t)$ ‍.

$\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ е ефектът на малка промяна на координатата $x$ ‍ на аргумента на $f$ ‍ върху стойността на функцията и, съответно, $\frac{\partial f}{\partial y}$ ‍ е ефектът на малка промяна на координатата $y$ ‍ на аргумента върху стойността на $f$ ‍.

Малка промяна на параметъра $t$ ‍ съответства на промяна на $f (x (t); y (t))$ ‍ по два начина - първо се променя стойността на $x (t)$ ‍, която на свой ред променя крайната стойност на $f$ ‍. Този ефект е равен на $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}$ ‍.
Промяната на стойността на $f$ ‍ е резултат от малка промяна на $x (t)$ ‍, която на свой ред е следствие от малка промяна на $t$ ‍:
$\begin{aligned} f (x (t_{0} + h); y (t_{0})) & - f (x (t_{0}); y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
Знаем, че $x (t_{0} + h)$ ‍ е приблизително равно на
$\begin{array}{r} x (t_{0} + h) \approx x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h \end{array}$ ‍
Така че търсеният израз е равен на
$\begin{aligned} f (x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h; y (t_{0})) & - f (x (t_{0}); y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
Този израз ни казва как малка промяна на координатата $x$ ‍ на $f$ ‍ променя крайната стойност на $f$ ‍, но сега трябва да заместим съответното приближение на функцията $x$ ‍ с помощта на нейната производна:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} (x (t_{0}); y (t_{0}))) \overset{промяна на x}{\overset{⏞}{(\frac{d x}{d t} (t_{0})) h}} \end{array}$ ‍

Вторият начин, по който $t$ ‍ променя стойността на $f (x (t); y (t))$ ‍ е чрез втората координата $y (t)$ ‍. Тази промяна е равна на $\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$ ‍.
Сборът от тези два ефекта е общата промяна на стойността на функцията $f$ ‍.

Връзка с производната по направление

Може би си забелязал/а, че скаларното произведение във формулата за производна на сложна функция на много променливи прилича на формулата за производна по направление:

\begin{array}{r} \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{array}

Това не е случайност! Производната

{\vec{v}}^{'} (t_{0})

в точката

t_{0}

е вектор в дефиниционната област на

f

\begin{array}{r} {\vec{v}}^{'} (t_{0}) = [\begin{array}{c} x^{'} (t_{0}) \\ y^{'} (t_{0}) \end{array}] \end{array}

Ако разгледаме

\vec{v} (t)

като параметрична крива в тази дефиниционна област, например траекторията на дадена частица, то производната в определен момент

t_{0}

е векторът на скоростта, с която частицата се движи по кривата.

Тогава според формулата за производна на сложна функция, производната на

f (\vec{v} (t))

е производната на $f$ ‍ по направление, зададено от $\vec{v} (t)$ ‍.

Малка промяна "

d t

" в стойността на

t

индуцира промяна

d \vec{v}

в стойността на

\vec{v} (t)

. А самата дефиниция на производната по направление е че промяна

d \vec{v}

в аргумента на

f

съответства на промяна

d f

в крайната стойност на

f

, дадена чрез формулата

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \nabla_{\vec{v}} f

Пример 1: Със или без формулата за производна

Дадена е функцията

f (x; y)

\begin{array}{r} f (x; y) = x^{2} y \end{array}

Нека

\vec{v} (t)

е следният вектор:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

Да се намери производната

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))

Решение без формулата за производна:

Преди да използваме току-що научената формула, нека отбележим, че можем да решим тази задача и просто като запишем

f

като функция на

t

\begin{aligned} f (\vec{v} (t)) & = f (\cos (t); \sin (t)) \\ = \cos (t)^{2} \sin (t) \end{aligned}

Сега просто пресмятаме производната на този израз:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \cos (t)^{2} \sin (t) \\ = \cos (t)^{2} (\cos (t)) + 2 \cos (t) (- \sin (t)) \sin (t) \\ = \cos^{3} (t) - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) \end{aligned}

Разбира се, целта на този пример е да демонстрираме формулата за производна на сложна функция.

Решение с помощта на формулата за производна:

Първо, компонентите на функцията

\vec{v} (t)

са

\begin{aligned} x (t) & = \cos (t) \\ y (t) & = \sin (t) \end{aligned}

Формулата за търсената производна е

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \end{aligned}

Заместваме двете частни производни на

f (x; y) = x^{2} y

и производните на

x (t) = \cos (t)

y (t) = \sin (t)

и получаваме

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\sin (t)) \\ = (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \end{aligned}

Искаме да изразим тази производна като функция на

t

, така че заместваме

x = \cos (t)

y = \sin (t)

\begin{aligned} (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \\ (2 \cos (t) \sin (t)) (- \sin (t)) + (\cos (t)^{2}) \cos (t) \\ = & - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) + \cos^{3} (t) \end{aligned}

Неслучайно отговорът е същия като предишния. Решението чрез формулата за производна на сложна функция е всъщност по-дълго от директното пресмятане, но в следващия пример ще видим, че всъщност е изключително полезна в различен тип задачи.

В следващия пример ще използваме формулата за производна на сложна функция за да преобразуваме уравнение спрямо неизвестна функция.

Пример 2: Неизвестна функция

Температурата в даден двумерен регион е изразена чрез функцията

T (x; y)

, която не знаем. Експериментално намираме температурата в различни точки и изразяваме координатите им

x

y

като функции от времето:

\begin{aligned} x (t) & = 30 \cos (2 t) \\ y (t) & = 40 \sin (3 t) \end{aligned}

Оказва се, че температурата не се променя при тези измервания. Какво можеш да кажеш за частните производни на

T

Температурата като функция на времето е

T (x (t); y (t)) = T (30 \cos (2 t); 40 \sin (3 t))

Фактът, че температурата не се променя, означава, че производната на функцията

T

0

. Разписваме производната като израз на двете частни производни:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} T (x (t); y (t)) & = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ = \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 30 (2) (- \sin (2 t)) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 40 (3) \cos (3 t) \\ = - \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 60 \sin (2 t) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

Сега заместваме стойностите на частните производни в точката

(x; y) = (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t))

и получаваме, че

T

съответства на следното уравнение:

\begin{aligned} 0 = - & \frac{\partial T}{\partial x} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 60 \sin (2 t) + \\ \frac{\partial T}{\partial y} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

Обобщение

Дадени са функциите $f (x; y)$ ‍, $x (t)$ ‍ и $y (t)$ ‍. Ето как изглежда формулата за производна на сложна функция на много променливи:

\underset{Производна на сложна функция}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t); y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Ако използваме запис като вектор: $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, формулата може да се изрази чрез градиента на $f$ ‍ и производната на $\vec{v} (t)$ ‍.

\underset{Производна на сложна функция}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Скаларно произведение}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.