Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 8: Производни на векторни функции (уроци)

Частна производна на параметрично зададена повърхност

Производната на функция, задаваща повърхност в три измерения, има интуитивно значение и в тази статия ще разберем какво е то.

Преговор

Основни идеи

Дадена е векторна функция с двумерен аргумент и тримерни стойности:
$\vec{v} (s; t) = [\begin{matrix} x (s; t) \\ y (s; t) \\ z (s; t) \end{matrix}]$ ‍
Тази функция има шест частни производни, по две за всяка от трите координати:
$\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s; t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s; t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s; t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s; t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s; t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s; t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s; t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s; t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍
Тези производни ни дават тангентните вектори към параметрично зададената повърхнина $\vec{v}$ ‍.

Каква е целта ни

Дадена е функция с двумерен аргумент и тримерни стойности, например:

$\vec{v} (t; s) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{matrix}]$ ‍

Тъй като имаме повече от един аргумент, функцията има частни производни. Фокусът на тази статия е да развием интуиция за значението на тези производни.

Функцията като параметрична повърхнина

Функцията всъщност има много логична геометрична интерпретация. Тъй като тя приема два аргумента и стойностите ѝ са тримерни, то тя дефинира параметрична повърхнина.

Да разгледаме всички стойности на

(t; s)

за

0 \leq t \leq 2 π

0 \leq s \leq 2 π

. Това е квадрат в "равнината

t s

". Ще разграфим този квадрат като шахматна дъска.

За дадена точка

(t; s)

, стойността

\vec{v} (t; s)

е точка в тримерното пространство.

Упражнение: Пресметни

\vec{v} (π; π)

. С други думи, какво е изображението на точката

(t; s) = (π; π)

след прилагане на функцията

\vec{v}

Представи си, че правиш същото пресмятане за всички разглеждани стойности на

(t; s)

, всяка от които дава точка в тримерното пространство. Тогава съвкупността от тези точки е двумерна повърхнина в тримерното пространство. Функцията представлява деформация на квадрата от допустими стойности в по-сложна фигура.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Резултатът е геврек! На математически език - тор.

Как интерпретираме частните производни

Производни по $t$ ‍

За да пресметнем частната производна

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

, просто диференцираме всяка компонента на функцията поотделно.

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s) & = \frac{\partial}{\partial t} [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} (3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (\sin (s)) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \sin (t) - \sin (t) \cos (s) \\ 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Така... какво означава тази новополучена векторна функция?

При пресмятането на производната третирахме променливата

s

като константа. Какво означава това геометрично?

В равнината

t s

, траектория, по която

s

е константа, е просто хоризонтална отсечка. Ето как изглежда отсечката съответстваща на

s = π / 2

, отбелязана в червено:

След като квадратът се превърне в тор, червената отсечка е окръжност, обхващаща цялата дължина на тора:

Производната

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

ни казва какъв е ефектът на малка промяна в параметъра

t

върху крайната стойност на функцията. В този случай векторът, представляващ промяната (отбелязан в жълто), се превръща във вектор, допирателен към червената окръжност, отбелязваща изображението на отсечката с константна стойност на

s

Аргументите, използвани в горната фигура, са

(t_{0}; s_{0}) = (\frac{π}{4}; \frac{π}{2})

. Това означава, че точката върху тора е

\begin{aligned} \vec{v} (\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \sin (π / 4) + \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ \sin (π / 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{array}] \end{aligned}

и допирателният вектор е

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} - 3 \sin (π / 4) - \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Упражнение: Защо

z

-координатата на тангентния вектор е

0

(Избор А)
$z$ ‍-координатата на всички точки в червената окръжност $s = π / 2$ ‍ е равна на $0$ ‍.
(Избор Б)
$z$ ‍-координатата на всички точки в червената окръжност $s = π / 2$ ‍ е константа.

Производни по $s$ ‍

Частната производна по

s

е подобна. Пресмятаме я като вектор от частни производни на всяка компонента в дефиницията на

\vec{v}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s) = \frac{\partial}{\partial s} & [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} - \cos (t) \sin (s) \\ - \sin (t) \sin (s) \\ \cos (s) \end{array}] \end{aligned}

Този път, когато

t

е константа, получаваме вертикална отсечка в дефиниционната област на функцията.

Жълтата стрелка е вектора на скоростта, с която частица се движи по тази отсечка. Тоест, когато променяме само

s

, но не и

t

. След като квадратът се превърне в тор чрез функцията

\vec{v}

, червената отсечка и жълтия вектор изглеждат така:

Частната производна

\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}

може да бъде интерпретирана като изображението на този вектор на скоростта върху тора.

Обобщение

Дадена е векторна функция с двумерен аргумент и тримерни стойности:
$\vec{v} (s; t) = [\begin{matrix} x (s; t) \\ y (s; t) \\ z (s; t) \end{matrix}]$ ‍
Тази функция има шест частни производни, по две за всяка от трите координати:
$\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s; t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s; t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s; t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s; t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s; t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s; t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s; t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s; t) \end{array}] \end{aligned}$ ‍
Тези производни ни дават тангентните вектори към параметрично зададената повърхнина $\vec{v}$ ‍.
Представи си, че преместваме точка във входното пространство по посока $t$ ‍, например от координати $(s; t)$ ‍ до координати $(s; t + h)$ ‍, като това е някакво много малко $h$ ‍. Това води до някакво много малко преместване на изходната стойност в повърхнината, което можем да представим с вектора $h \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s; t)$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи