Правило за диференциране на сложна функция на много променливи и производни по направление

В последния урок разгледахме векторната форма на правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Само да си го припомним – ако имаме някаква функция f, която в този случай има дефиниционно множество със 100 измерения, така че можеш да си представиш... Аз не мога да си представя пространство със 100 измерения, но по принцип разглеждаме някакво пространство, което е стомерно, можеш да си представиш и двумерно пространство, ако искаш да работиш с две измерения. Това е една скаларна функция, чиито изходни стойности лежат на една числова ос, някаква числова ос, на която лежат изходните стойности на функцията f. Сега ще съчетаем тази функция с една векторна функция, така че това е някаква функция, която има единична входна стойност t, а после изходните стойности принадлежат на многомерно пространство. Значи разглеждаме преминаване от една променлива t към някакво многомерно пространство, което можем да си представим, че съдържа множество вектори, а после преминаваме от него към една променлива, към едно число. Начинът, по който можем да запишем това, е да кажем, че функцията f е комбинирана с изходната стойност на v, значи комбинацията на f и v от t. Сега искаме да намерим нейната производна. Значи производната на тази сложна функция е... аз ти казах и ние разгледахме откъде идва това – градиентът на f, изчислен за v от t, за първоначалната изходна стойност, намираме скаларното произведение с производната на v, векторната производна, което означава, че – досещаш се – просто намираме производната на всеки от компонентите на вектор v. Когато умножим това по производната по отношение на t, това означава, че намираме производната на всеки компонент. х1, dt и х2, dt и така нататък, до стотния компонент, dt. Това е векторната форма на правилото за диференциране на сложна функция на много компоненти. Сега искам да ти покажа, че това много прилича на производна по направление. Ако не си гледал/а видеото за производна по направление, е добре да го направиш, за да си го припомниш, но по принцип казваме, че ако сме във входното пространство на f, ако направим една малка стъпка по направление на някакъв вектор v, може би не трябва да използвам повторно v, нека да е някакъв вектор w. Това не е функция, това е просто вектор. И си задаваме въпроса в резултат на тази промяна каква е промяната на изходната стойност на f, тази промяна е производната по направление, като записваме производната по направление на функцията f по направление на вектор w, производната на f по направление – трябва да уточним, че е за някаква точка, някаква входна стойност, р за тази входна стойност, което в този случай е вектор, например вектор със 100 измерения. Начинът, по който го намираме, е да вземем градиента на f – това е причината да използваме символа набла, това е начинът, по който го изчисляваме – градиентът на f, изчислен в същата входна точка, същият входен вектор р. Тук само искам да поясня, тук разглеждаме произволен вектор във входната точка – това е р. После тази малка стъпка, с която се преместваме от началната точка, е вектор w. Намираме скаларното произведение между този вектор и самия вектор, векторът, който представя посоката на малкото преместване. Това много прилича на правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Различно е само това w, на което намираме производната, векторната производна на v, значи можем да кажем, че цялото това нещо е производната по направление в посоката на производната на t, което е малко объркващо. Производната по направление в посоката на производната на f, и точката, в която определяме това, в коя точка определяме производната по направление? Това е там, където е изходната стойност на v. Това е много стегнато, но е доста изчерпателно. Начинът, по който можем да го разглеждаме, е v от t... ще изтрия това. v от t е това, което ни интересува, и когато t се изменя, това един вид ни премества през това пространство по някакъв начин. Всяка една от тези изходни точки тук представлява векторът, v от t в някаква точка, производната на това – какво представлява тя? Това е тангенциалният вектор към това движение, ние се преместваме в това пространство, и тангенциалният вектор към траекторията, това е тълкуването на това v прим от t, производната на v по отношение на t. И какво означава това? Защо производната по направлене в посоката на v прим от t, тази промяна на междинната функция v, какво общо има тя с правилото за диференциране на сложна функция на много променливи? Спомни си, че това което питаме, когато определяме това dt на тази сложна функция, че казваме взимаме една малка промяна на t, ето тази малка промяна тук, на стойността на t, и си задаваме въпроса каква промяна предизвиква тя в сложната функция. В дадена точка тази малка промяна на t предизвиква промяна в посока на вектора v прим от t. Това е целият смисъл на тази векторна производна. Променяме t малко, и това ни показва каква е промяната в множеството на изходните стойности. Но тогава ти казваш: "Добре, преместихме се малко в това междинно стомерно пространство, а как това влияе на изходната стойност на f въз основа само на поведението на функцията на много променливи f?" Точно това ни показва производната по направление. Тя ни казва, че се получава една малко промяна в посоката на някакъв вектор, в този случай това е v прим от t ето тук. В общия случай можем да вземем произволен вектор w – имаме малка промяна в тази посока. И нещо още по-важно – има значение и дължината на вектора v прим от t. Ако се движим наистина бързо, можем да очакваме, че тази промяна ще е по-голяма, така че фактът, че дължината на v прим от t e по-голяма, ни е от полза. Производната по направление ни показва каква е големината на промяната на f като отношение на частта на този вектор на посоката, спрямо когото се движим. И можеш... друг начин за записване на производната по направление е да кажем частно f... и после частно този вектор, който е тук. По същество казваме, че взимаме размера на тази стъпка по посока на този вектор като отношение на самия вектор, а после разглеждаме промяната на изходната стойнсот, като намираме отношението. Мисля, че това е много красив начин за разбиране на правилото за диференциране на функция на много променливи. Защото това ни дава представа за – досещаш се – разглеждаме v от t, представяме си някакво много бързо преместване, а посоката и големината на скоростта, докато се придвижваме, е това, което определя промяната на изходната стойност на функцията f. Надявам се, че това ти помага да разбереш по-добре и производната по направление, и правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Това е едно много хубаво обяснение.