Правило за диференциране на сложна функция на много променливи (логическо тълкуване)

В последното видео те запознах с правилото за диференциране на сложна функция на много променливи, а сега искам да обясня логически това правило, защо очакваме това равенство да е вярно. Начинът, по който разглеждам един подобен израз, е, че имаме функция на много променливи, f от (х; у) която съдържа други функции, но самата функция f можем да разглеждаме, че има двумерно дефиниционно множество, една равнина ху, което се изобразява върху една реална числова ос, което разглеждаме като функцията f, стойностите на функцията f. По някакъв начин цялата функция взима стойностите от това двумерно пространство и ги изобразява в множеството от стойностите на функцията, което можем да разглеждаме просто като още една числова ос ето тук – това е t, а тук имаме различни функции, това са функциите х от t и у от t. Тези две функции имат еднаква входна стойност, една и съща входна стойност – разбираш, че тези две функции нямат различни входни стойности, функция х от някаква входна стойност t и функция у от някаква друга входна стойност t – не, това е една и съща стойност t, и двете функции изобразяват тази стойност t някъде в това изходно пространство, а самото това пространство също ще бъде изобразено (чрез функцията f). По този начин разглеждаме това като функция на една променлива, която има входна стойност t и изходна стойност f, само че междувременно тук се случват различни неща, свързани с повече измерения, те се случват по средата, и сега, ако разглеждаме производната – какво означава това за всичко това, което описахме дотук? Знаменателят, това dt, разглеждаме като малка промяна на t, нали така? Това е една малка стъпчица, макар че аз я чертая голяма, така че да се вижда, все едно се преместваме от първоначалната входна стойност, но по принцип трябва да си я представяш като една много, много малка промяна на t. Ето тук можем да кажем: това ще премести междинните стойности на функцията от равнината ху във – може би ще ги премести с някаква малка стъпка, пак си представи някаква много малка стъпка, макар че аз ще я направя да се вижда, просто за да мога да я начертая, а после, какъвто и да е размерът на тази стъпка в изходното пространство, това е стъпка в някаква посока, която ще съответства на някаква промяна на функцията f. Някаква промяна, която зависи от различните свойства на самата функция на много променливи. Ако разгледаме това, тази промяна можем да я разделим на отделни компоненти, и да кажем, че изместването се състои от някакво dx, някакво преместване в посока х, и някакво dу, което е изместването по посока у. Но можем да разсъждаваме какви ще бъдат те, защото това не е някаква произволна промяна на х, нито е произволна промяна на у, а те са резултат от промяната dt. Така че, ако дойдем ето тук, можем да кажем, че това dx е причинено от тази промяна dt и смисълът на производната е, на производната на функция на една променлива е когато диференцираме dx, dt, това е множителят, който ни казва за всяка малка промяна на t колко се променя х-компонентът, което, ако искаш можеш да разглеждаш че тук все едно съкращаваме тези dt, и ни остава само dх, но наистина тук казваме, че имаме малка промяна на t, която води до промяна на х и тази производна е това, което ни казва какво е отношението на големините на тези промени. По същия начин промяната на у по някакъв начин е пропорционална на промяната на t, и това отношение представлява производната на у по отношение на t, което е смисълът на производната. Извинявам се, грешка, по отношение на t, като отново можеш да си представиш, че все едно тук тези членове t се съкращават, затова го записваме като дроби. Този начин на записване по Лайбниц е наистина много удобен. Тук хората често казват: о, математиците са приели, че ще третират това като дроби, но това не само е много удобно като начин за запомняне, а то отразява това, което ще направим, когато правим формално доказателство. Мисля, че ще го покажа в някой следващ урок, ще опиша това по един много по-формален начин, който е много по-издържан, отколкото сегашното обяснение. Но логиката, която следва от записа като дроби е в основата на това формално доказателство, така че е хубаво да го използваме, не смятам, че математиците ще се възмущават, когато когато някой ученик или учител използва това. Както и да е, това един вид ти дава колко е dx, колко е dy, а после ето тук, ако попитаме: колко се променя крайната стойност на f? Можем да кажем, че малката промяна на dx ето тук, ако се чудим до каква промяна води на изходната стойност на f, това е същността на частната производна. Ако имаме частна производна по отношение на х, това означава, че когато вземем една малка промяна на х, това ни дава отношението между тази малка промяна на х и крайната промяна на изходната стойност на функцията, която търсим. Можеш да разглеждаш това все едно частно х се съкращава с това dx, ако искаш, или можеш да кажеш, че тази малка промяна на х ще доведе до някаква промяна на функцията f – не съм сигурен каква – но значението на производната е отношението между тези две промени, и това ни позволява да го намерим. По същия начин, можеш да кажеш, че тази промяна на f е причинена от х или се дължи на промяната на х. Затова записваме dx. Но това не е единственото нещо, което води до промяна на f, нали? Това не е единствената промяна, която се случва в пространството на входните стойности, има и друга промяна на f, която се дължи на dy. Тя се дължи на тази малка промяна на у и тази промяна на f ще е пропорционална на тази малка промяна на у, а константата на пропорционалност – това е същността на частната производна, когато имаме малка промяна на у, тя по някакъв начин води до промяна на f и отношението между тези две малки промени е самата производна. Така че, очевидно, ако обединим тези две неща, можем да кажем, че има две различни неща, които причиняват общата промяна на функцията f. Ако обединим тези, ако искаме да намерим общата промяна на f – ще дойда тук горе вляво и ще кажа, че общата промяна на f, част от нея се дължи на частно f, частно х – мога да умножа това по dx ето тук, но всъщност знаем, че dx, самата промяна dx се дължи на промяната dt, така че на свой ред тя е причина за промяната на х-компонента – неговата промяна се дължи на dt. Ето това беше големината на промяната dt. Тогава по същата причина тази промяна в посока у е частно f по отношение на у, но това изменение на у, промяната на у се дължи на промяната на t. Големината на тази промяна е dy/dt по dt, можеш да си го представиш така. Значи малката промяна на t причинява тази промяна на у, а промяната на у причинява промяната на f. Когато съберем тези две промени на f, всичко това, което се случва, това е всичко, което причинява пълната промяна на f. Ако вземем този целия израз и разделим всичко на dt, един вид ако изтрием dt от тази страна, и го поставим ето тук – dt – това е правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Аз просто написах същото нещо отново, но се надявам, че това ти показва логиката каква е връзката между различните малки промени и защо ги разглеждаме по този начин. Разбира се, виждаш това, и виждаш, че частно х един вид се съкращава с това dx и това частно у се съкращава с това dу, след което остават две различни неща, които представляват промяната на х, знаеш, че това е само едната част от промяната на f и това е другата част от промяната на f. Но заедно те дават пълната промяна на f, наречена още "пълен диференциал", което, според мен обяснява много логично защо когато го разбием по този начин, това е вярно.