Векторна форма на правилото за диференциране на сложна функция на много променливи

В последните няколко урока разгледахме правилото за диференциране на функции на много променливи – виждаш формулата на екрана, а ко си пропуснал/а тези уроци, можеш да се върнеш и да ги гледаш. Сега искам да запиша това със запис чрез вектори, което ще ни помогне да го получим в малко по-обобщен вид, когато междинното пространство има повече измерения. Вместо да запиша х от t и у от t като отделни функции, и просто да акцентирам, че двете функции имат едно и също дефиниционно множество, като входните стойности на функцията х и на функцията у са еднакви, по-добре и по-ясно, ако кажем, че имаме някаква векторна функция, която има входна стойност просто едно число t, а изходната ѝ стойност е просто някакъв вектор. По този начин можем да кажем, че компонентите на векторната функция v са х от t и у от t. Но аз искам да разгледаме какво ще се получи, ако започнем да представяме всичко във вид на вектори, и тук, където виждаме dx/dt и dy/dt, можем да кажем, че намираме производната на тази векторна функция. Производната на v по отношение на t... когато изчисляваме това, не правим нищо различно от това да намерим производната на всеки отделен компонент. В този случай производната на функцията х – значи пишем пишем dx/dt, и производната на функцията у, dy/dt – това е производната на векторната функция. Сега може би нещо ти прави впечатление. Имаме един от тези компоненти, умножен по някаква стойност, и другият компонент, умножен по някаква стойност, което можем да определим като скаларно произведение. Това е скаларното произведение на вектора, който съдържа производни, съдържа частните производни – частната производна на f по отношение на у, и частната производна на f по отношение на х... опа, не знам защо го написах по този начин, но тук горе е по отношение на х, а долу е по отношение на у. Значи цялото това нещо е скаларното произведение по вектора, чиито компоненти са обикновената производна dx/dt и обикновената производна dy/dt. Това са специални вектори, те не са случайни – левият вектор е градиентът на функцията f, десният вектор тук, който току-що написах, е производната на вектор v по отношение на t, така че ще го означа като v прим от t. Това е съвсем същото като dv, dt, което е друг начин да напишем правилото за диференциране на сложна функция от много променливи. Ако искаш да е малко по-точно, можем да подчертаем, че когато разглеждаме градиента на f, неговата входна стойност е всъщност изходната стойност на тази векторна функция – подаваме на входа х от t и у от t – така че можем да подчертаем, че имаме тази входна стойност, която после умножаваме по производната, по векторната производна на функцията v от t. Като казвам, че я умножаваме, имам предвид, че намираме скаларно произведение – това са два вектора и намираме тяхното скаларно произведение. Това би трябвало да ти е познато от правилото за диференциране на сложна функция с една променлива. Ще го напиша, за да си го припомниш, ако намираме производната на сложна функция, която съдържа две функции на една променлива – функцията f от g, намираме първо производната на външната функция – f прим, спрямо функцията g, вътрешната функция, разглеждана като аргумент, а после умножаваме по производната на вътрешната функция – по g прим от t. Това е много полезно правило при анализа на функции на една променлива, така можем да намираме много производни, но това ето тук е много подобно, нали? Градиентът, който по същество е една функция на същинското разширение на производната на функция на много променливи за една скаларна функция на много променливи, намираме производната на градиента и я въвеждаме във вътрешната функция, която в случая е една векторна функция. Въвеждаме производната в нея, след което я умножаваме по производната на това, но умножаваме векторите в този случай означава, че намираме скаларното им произведение, а това означава, че ако имаме функция, която съдържа куп различни променливи, например ако имаме някаква функция f от х, или нека да не е f от х, нека да f от х1 и х2... функцията съдържа цял куп променливи, които стигат до х100. Тогава това, което въведем на входа на тази функция, която по същество е векторна функция, която взима една променлива и за да можем да съставим сложна функция, тук ще има цял куп междинни функции – можем да ги запишем като х1, х2, х3 до х100, всички те са функции в тази точка. Това са съставните функции на нашата векторна функция v. Този израз все още има смисъл, нали? Пак можем да вземем градиента на f, който съдържа 100 компонента, можем да въведем всеки вектор, всяка наредена 100-ка, и по същество изходната стойност на векторната функция, ще съдържаща 100 различни компонента, това ще работи, а после намираме скаларното произведение с производната на това. Това е по-общата версия на правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Хубавото на този начин на записване е, че можем да я тълкуваме по отношение на производната по направление, което мисля, че ще направя в следващото видео, така че това е един начин за тълкуване на това с помощта на производна по направление.