Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 3

Урок 5: Модул (абсолютна стойност) и аргумент (ъгъл) на комплексните числа

Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа: преговор

Преговори знанията си за свойствата на комплексните числа: абсолютна стойност и ъгъл. Преобразувай комплексни числа между тригонометричен и алгебричен вид.


Абсолютна стойност (модул) на $a + b i$ ‍		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Ъгъл на $a + b i$ ‍		$θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Алгебричен вид от дадени $r$ ‍ и ъгъл $θ$ ‍		$r \cos (θ) + r \sin (θ) \cdot i$ ‍

Какво са абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа?

Свикнали сме да записваме комплексните числа в алгебрична форма, която съдържа тяхната

реална

имагинерна

част. Например като

3 + 4 i

Можем да начертаем числата в комплексната равнина, като използваме техните части:

Графично погледнато, има и друг начин да опишем еднозначно комплексното число — с неговите

абсолютна стойност

ъгъл

Абсолютната стойност

или

модулът

ни показва разстоянието на числото от началото на комплексната равнина, докато неговият

ъгъл

, наричан още

аргумент

, е ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос.

Абсолютната стойност на едно комплексно число

z

се записва по същия начин, както и абсолютната стойност на реално число: като

| z |

Искаш ли да научиш повече за абсолютната стойност и ъгъла на комплексните числа? Виж това видео.

Упражнение 1: намиране на абсолютна стойност

За да намерим големината на едно комплексно число, взимаме квадратния корен от сбора на квадратите на частите му (това е директно приложение на питагоровата теорема).

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Например абсолютната стойност на числото

3 + 4 i

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Задача 1.1

| 3 + 7 i | =

Отговорът трябва да е точно число.

Искаш да решиш още подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнение 2: намиране на ъгъла

За да намерим ъгъла на комплексно число, взимаме реципрочното на тангенс от частното на неговите части:

θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})

Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.

Пример 1: Квадрант $I$ ‍

Да намерим ъгъла на числото

3 + 4 i

{tg}^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Пример 2: Квадрант $II$ ‍

Да намерим ъгъла на числото

- 3 + 4 i

. Най-напред забележи, че

- 3 + 4 i

е във втори квадрант.

{tg}^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

е в квадрант

IV

, а не в

II

. Трябва да добавим

180^{\circ}

, за да получим срещуположния ъгъл:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Задача 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Ако е необходимо, закръгли отговора си с точност до десета. Изрази $θ$ ‍ в градуси между $- 180^{\circ}$ ‍ и $180^{\circ}$ ‍.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 3: Алгебричен вид от абсолютна стойност и ъгъл

За да намерим реалната и имагинерната част на комплексно число, за което знаем неговата абсолютна стойност и ъгъл, умножаваме абсолютната стойност по синуса или косинуса на ъгъла:

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Например това е алгебричният вид на комплексно число с абсолютна стойност

2

и ъгъл

30^{\circ}

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Задача 3.1

| z_{1} | = 3

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Закръгли отговора си с точност до хилядните.

Искаш ли да опиташ с още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Въведение в математическия анализ