Комплексни числа с еднакви модули (абсолютни стойности)

В задачата се пита кои от тези комплексни числа имат модул 13. Само като подсказка, когато говорим за модул на комплексно число, всъщност ние имаме предвид абсолютната стойност на числото. Ако искаме да представим числото в комплексната равнина, която виждаме ето тук, на какво разстояние е числото от началото на координатната система? Значи наистина трябва да установим кои от тези комплексни числа са на разстояние 13 единици от началото на комплексната равнина. Постави видеото на пауза и виж дали можеш да отговориш самостоятелно. Добре, сега да решим задачата заедно. Може би ти се иска да отговориш веднага, че разстоянието от началото на координатната равнина е 13. Ако това е началото на координатната система ето тук, виждаме, че ако се отдалечим на 13 единици надолу, получаваме ето тази точка тук – минус 13 по i. От тук веднага отговарям, че това комплексно число има модул 13, но дали само то има такъв модул? Можем да визуализираме всички комплексни числа, които имат модул 13, като начертаем окръжност с радиус 13 единици и център в началото на координатната равнина. Да го направим. Виждаме, че окръжността съдържа първото комплексно число, което търсим, но изглежда, че съдържа и тази точка ето тук, (огражда я) и можем да потвърдим, че модулът ѝ ще е 13. Можем да използваме питагоровата теорема. Значи това разстояние ето тук е 12. Това разстояние ето тук е 5. Сега само трябва да изчислим дължината на хипотенузата ето тук. Знаем, че хипотенузата е равна на корен квадратен от 5 на квадрат плюс 12 на квадрат, което е равно на корен квадратен от 25 плюс 144, което е равно на корен квадратен от 169, което е равно на 13. Значи избирам и този вариант. Можем да видим нагледно, че една от тези други точки, които вече начертахме върху окръжността. Значи те нямат модул 13. Ако искаме да намерим други интересни точки, можем вместо минус 5 плюс 12 по i, можем да вземем минус 5 минус 12 по i. Това ни отвежда ето тук. Това число ще има модул 13. Обърни внимание, че когато имаме комплексно спрегнато число, то има същия модул. Това е вярно и в обратната посока. Вместо минус 5 плюс 12 по i, можем да вземем 5 плюс 12 по i. То също ще има модул 13. Значи може да е 5 минус 12 по i. Това също би имало модул 13. Тук има безкрайно много точки – всяка от тези точки от окръжността има модул 13.