Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа

Това което искам да постигна с това видео е да ви покажа начини за представяне и визуализиране на комплексни числа. Вероятно сте запознати с идеята за комплексно число - нека го наречем z и z е буквата, която най-често се използва, за да представи комплексно число. Нека кажем, че z е равно на a+bi. Наричаме го комплексно, защото има реална част има реална част има и въображаема част Има и въображаема част. И за да свикнете с нотацията, понякога ще видите някои да пишат реалната част (Re(z)), което означава реалната компонента на z. Това е функция, при която аргументът е комплексно число, а стойността ѝ е реалната компонента на това комплексно число. В този случай реалната част е равна на a. Можем да дефинираме и друга функция наречена въображаема част (Im(z)). Въображаемият компонент на z. Аргументът ѝ е отново някакво комплексно число а стойността ѝ е имагинерната част на това число. Имагинерната част -- това ще рече, по колко умножаваш i. И в този случай, това е равно на b. b - това е реално число - но това ни казва по колко е умножено i. в комплексното число z. Ето тук. Сега, един начин да визуализираме комплексни числа, и това всъщност е много полезен начин да ги визуализираме когато мислим за корени на числа, особено комплексни корени, е да като използваме комплексната равнина. Комплексна равнина. И това е тя. И прилича много на координатна система и е координатна система но вместо да има x по абсцисата и y по ординатата има реална и въображаема ос. Така че примерът z e равно на a +bi ще бъде представен като радиус-вектор, където реалната компонента е по абсцисата Да кажем, че това е равно на a Тогава имагинерната компонента е по ординатата или въображаемата ос. Да кажем, че това е равно на b И така в комплексната равнина ще представим числото z чрез радиус-вектор, който започва от 0 и чийто връх е в точката с координати (a,b) Така че това тук...това тук е нашето комплексно число. Това тук е представяне в комплексната равнина на комплексното число a +bi или z. Когато го нарисувате по този начин, когато го нарисувате като радиус-вектор, и ако сте запознати с полярните координатни системи, Вероятно си мислите: "Хей, не е нужно да да представям това комплексно число с тези координати просто като a +bi, може би мога да го представя като някакъв ъгъл тук някакъв ъгъл тук - нека го наречем φ. И някакво разстояние тук - нека го наречем r. Което е дължината на този вектор." И бихте могли. Ако изберете някакъв ъгъл и някакво разстояние, Това също би определило тази точка в комплексната равнина. И това всъщност се нарича аргументът на комплексното число, а това тук големината или понякога наричан модулът или абсолютната стойност на комплексното число. Сега, нека помислим малко за това. Нека помислим как всъщност бихме пресметнали тези стойности. r, което е модулът или големината се бележи като абсолютната стойност на z1 Колко е това? Е, имаме правоъгълен триъгълник тук. Имаме правоъгълен триъгълник. Тази страна е равна на b, дължина b. Основата тук има дължина a. Значи, за да изчислим r, можем просто да използваме питагоровата теорема. r квадрат ще бъде равно на а квадрат плюс b квардрат или r ще бъде равно на корен квадратен от a квадрат плюс b квадрат. Ако искаме да разберем на колко е равен аргументът. Да кажем, че искаме да разберем колко е аргументът. Това ще бъде равно на какво? Нека помислим малко. Имаме b и а. Коя тригонометрична функция ни дава отношението на срещулежащата страна на ъгъл към прилежащата (в правоъгълен триъгълник) Така нека да напиша Sohcahtoa Sohcahtoa - тангенсът, които се свързва със противоположния съседен Тангенсът на този ъгъл, който нарекохме аргумент на това комплексно число. Тангенсът на аргумента ще бъде равен на срещулежащата страна разделено на прилежащата страна. Това е равно на b върху a И така, ако искаме да решим за този аргумент ще кажем, че аргументът е равен на аркустангенс, или обратната функция на тангенс, от b върху a. Сега, ако искаме да представим -- да кажем, че имаме комплексното число. Да кажем, че имаме аргументът и да кажем, че имаме -- Да кажем, че ни е даден модулът и аргументът. Да предположим, че това ни е дадено. Как да се върнем обратно (да намерим а и b) Сега ако имаме a и b. Току-що ви показах как да откриете големината и как да намерите ъгъла или аргумента от тях. Но ако това ви е дадено, как да открием a и b? Тук, ако се опитвате да намерите a, когато знаете r и φ. (Тук Кан казва тита, но има предвид фи) Ако се опитвате да намерите прилежаща страна, когато знаете ъгъл и хипотенуза. Прилежаща страна върху хипотенуза е равно на косинус. Следователно имаме косинус от аргумента е равен на r -- е равен на прилежащата страна върху хипотенузата. Равен е на a/r. Умножаваме двете страни по r. и получаваме r*косинус от φ е равно на a. Правим нещо много сходно с b. Ако използваме синус -- срещулежаща страна върху хипотенуза -- синус от аргумента е равен на b върху r е равен на b върху големината. Умножаваме двете страни с r, получаваме r*синус от φ е равно на b. Как бихме написали това комплексно число? Това комплексно число z. Комплексното число z ще бъде равно на реалната част, която е r по косинус от φ r по косинус от φ плюс имагинерната част по i плюс r -- правим това отново в зелено -- плюс r синус от φ по i умножено по i -- Сега това може да ви изглежда като нещо доста интересно, ако някога сте виждали формулата на Ойлер. Нека изкараме това r пред скоби. Това ще бъде равно на r r по косинус от φ косинус от φ плюс -- поставям i отпред -- i синус от φ. Какво е това? Ако сте виждали клиповете, които направих за редовете на Тейлър. Поредица от клипове в плейлиста с математически анализ -- и това е наистина един от най-интересните резултати в цялата математика все още настръхвам като се замисля -- това е формулата на Ойлер. Това е -- или според формулата на Ойлер е същото нещо. Това е същото нещо И можем да го докажем като погледнем представянето като серия на Тейлър на функцията e на степен x и сериите на Тейлър на косинус и синус от x. Но това е -- ако работим в радиани -- e на степен iφ е на степен iφ. Следователно z е равно на r е равно на r по e на степен iφ е на степен iφ Следователно има 2 начина да се напише комплексно число Можете да го напишете така, където имаме реалната и имагинерна част Това е "правим каквото сме свикнали да правим" начинът. Или можем да го напишем в експоненциална форма. Където имаме модулът или големината умножена по комплексен експоненциал. Ще открием, че това е изключително полезно, особено когато се опитваме да намерим корени За да направим всичко това по-разбираемо, нека опитаме да решим примерна задача. Нека предположим, че имам... Не знам -- да кажем, че z1 е равно на корен квадратен от 3 върху 2 плюс i. И така искаме да намерим... Искаме да намерим големината и искаме да намерим аргументът. Нека направим това. Големината Големината на z1 ще бъде равна на корен квадратен от това на квадрат Това ще бъде равно на... Това ще бъде равно на 3 върху 4 -- три четвърти плюс едно на квадрат -- всъщност ще кажем плюс четири четвърти (4/4), така че това ще бъде равно на корен квадратен от 7 върху 4, което е равно на корен квадратен от 7 върху 2 Сега нека открием колко е аргумента. Нека начертаем комплексната равнина Върху комплексната равнина, ще изглежда така. Ще бъде в първия квадрат и това е всичко, за което има да се тревожа. Нека я начертая. Нека я начертая ето така. Сега имаме следната ситуация. Ще бъде квадратен корен от 3... Всъщност нека променя това малко. Само за да може отговорът да е малко по-изчистен Извинявам се за това. Ще променя изразът малко за да можем да имаме малко по-изчистен резултат. Искаме първият ни пример да е елементарен. Нека го променим на корен квадратен от три разделено на 2 плюс 1/2 плюс 1/2 * i Нека изчислим големината отново Големината тука -- z1 е равна на корен квадратен от квадратен корен от 3 върху 2 на квадрат е равно на 3 върху 4 плюс 1/2 на квадрат е равно на една четвърт Това прави всичко много по-просто. Това е равно на корен квадратен от 1, което е 1. Сега нека помислим -- нека начертаем комплексната равнина, за да визуализираме аргумента. Това е имагинерната ос Това е имагинерната ос. Това е реалната ос. Реалната ос. Следователно това комплексно число е корен от 3 върху 2 корен от три е около 1.7, така че, ако едно е тук ще бъде -- това тук е едно -- ще бъде някъде тук Някъде около това място. Това е корен квадратен от 3 разделено на 2 Реалната част. Имагинерната част е една втора. Ако това е едно, това е една втора, имагинерната част е ето тук -- една втора Ние всъщност знаем и дължината или големината е едно Значи, за да разберем... Как да разберем колко е φ? Знаем, че тази страна тук е корен от 3 върху... Нека сме внимателни -- знаем, че тази страна там е 1/2 Това е имагинерната част и знаем, че основата е корен от 3 върху 2 Има няколко начина, по които можем да пресметнем това Първо. Можем просто да погледнем тангенса, защото това включва срещулежащата страна върху прилежащата. Можем да кажем, че тангенс от φ е равен на срещулежащата.... е равен на една втора върху корен от 3 върху 2. и след това можем да вземем аркустангенс от двете страни. Следователно това е същото нещо като φ е равно аркустангенс или обратната функция на тангенс от ако умножим числител и знаменател с 2 това е 1 делено на корен от 3. Можете да го изчислите така. Можете също така да кажете, че φ е аркуссинус от... Синусът от φ е равен на срещулежащата страна върху хипотенузата Така че синус от φ е равен на 1/2 върху едно или φ е равно на аркуссинус от една втора - и това можем да го пресметнем с калкулатор. или можем да разпознаем, че това е просто триъгълник с ъгли 30-60-90 градуса. Основата е корен от 3 върху 2 Това е една втора -- Това е едно. Следователно този ъгъл тук ще бъде 30 градуса. И това става просто като разпознаете, че това е триъгълник с катет равен на половината от хипотенузата. Можете да погледнете тези и да получите сходен резултат. Сега искам да представя този ъгъл в радиани, защото когато използвате експоненциалната форма, тя трябва да е в радиани. φ е равно на 30 градуса φ е равно на 30 градуса, което е същото като пи върху 6. Ако искате да представите z в експоненциална форма ще бъде абсолютно същото нещо като r или величината на числото, което е 1. Аз слагам единицата там, но това не е нужно. Едно умножено по e на степен пи*i/6 e на степен i*пи/6 И сме готови!