Основни правила за диференциране (Част 2)

В последното видео те запознахме с това свойство за диференциране: ако една функция е равна на някаква константа, тогава производната ѝ ще бъде 0 за всяко х. Направихме графично доказателство и също използвахме дефиницията за граници, за да го потвърдим. Нека сега дадем още няколко от тези свойства. Те са основни свойства. През останалата част от математическия ти живот или кариера, ти ще използваш някаква комбинация от тези свойства, за да намираш производни. Така че е добре 1-во: да знаеш за тях и да имаш увереност, че те наистина са верни, и второ: ако функцията f от х е равна на някаква константа по друга функция g от х, тогава производната на f от х ще бъде равна на същата константа... Нека го направя. Същата константа по производната на g от х. Може би отново ще можем да направим графично представяне защо това е вярно. Това ще умножи наклона, погледнато от една страна. Но по-лесно е да го представим алгебрично, използвайки само...всъщност може да използваме, което си искаме от тези две дефиниции за производната. Ще използвам тази вдясно, защото изглежда по-общо, макар че може да кажеш: "Това е вярно за а", но х може да е всяко а. Все пак ще използвам това вдясно. Ако искаме да намерим f прим от х, използвайки тази дефиниция, знаем, че f прим от х ще бъде равно на границата, когато h клони към 0. Използвам тази дефиниция. f от х плюс h, минус f от х, цялото върху h. На колко е равно f от х плюс h? Това е границата, когато h клони към 0. f от х плюс h е к по g от х плюс h, минус f от х. Това е просто kg от х. kg от х. Цялото върху h. Тогава можем да извадим пред скоби k. Това ще е равно на границата, при h клонящо към 0, на k по g от х плюс h, минус g от х, цялото върху h. Просто изкарах k пред скоби. От свойствата на границата знаем, че това е същото като k по границата, при h клонящо към 0, на g от х плюс h, минус g от х, цялото върху h. И разбира се, всичко това тук... Това е просто g прим от х. Това е равно на k по g прим от х. Знам, че може би си мислиш: "Уау, това изглеждаше, че ще се окаже вярно, затова така и предположих." Но не може просто да предполагаш това. Не знам, понякога можеш. Когато в началото се опитваш да го разбереш, може да кажеш: "А, това изглежда логично." Но в математиката обичаме наистина да знаем, че това е вярно, иначе ще изградим какви ли не заключения, основани на несигурни основи. Това ни позволява да сме сигурни, че това е нещо, което можем да правим. Затова е добре да провериш нещата, дори да изисква малко работа, за да стигнеш до това заключение. Нека сега направим третото свойство. Третото свойство е идеята, че ако имам някаква функция, която е сбор или разлика от други две функции... g от х и да видим... Използвам h често. Да кажем... Не знам, j от х. Защо не, j от х. Не се виждат много j от х. f прим oт х ще е равно на g прим от х плюс j прим от х. Това щеше да е вярно, дори ако това вместо положително, беше отрицателно. Вместо събиране, да беше изваждане. Ако имаме сбор или разлика от две функции, тогава производната ще бъде сбора или разликата на техните производни. Отново можем просто да се върнем при дефиницията за f прим от х. f прим от х ще е равно на границата, при h клонящо към 0, на f(х + h). Но какво е f(х + h)? Това е g(х + h), плюс j(х + h). Следователно f(х + h), минус f(х). f(х) е g(х). g(х) плюс j(х), плюс j от х. Забележи, че това е f(х + h), минус f(х), и ще сложим всичко това върху h. Следователно можем да сложим всичко това върху h. На какво е равно това? Можем да пренаредим това, което виждам отгоре. Това е равно на границата, при h клонящо към 0... Да видим. Ще сложа всички изрази с g(х) отпред. Следователно g(х + h), минус g(х), плюс j(х + h), минус j(х), и тогава всичко това върху h. Това е същото като това върху h, плюс това върху h. Отново знаем от свойствата за границите, че това е абсолютно същото нещо като границата, при h клонящо към 0, на g(х + h), минус g(х), цялото върху h, плюс границата, при h клонящо към 0, на j(х + h), минус j(х), цялото върху h. А това тук, това е дефиницията за g прим от х. А това тук е j прим от х. И сме готови. Ако това вместо положително, това вместо събиране, беше изваждане, тогава можеше да приложим изваждане и вместо да съберем тук, щяхме да извадим. Надявам се, че тези свойства ти станаха ясни. Самите свойства са сравнително прости. Най-вероятно можеш просто да ги предположиш, но е добре да използваш дефиницията за производните, за да се убедиш, че заключенията наистина са добри.