Доказателство за математическото очакване на геометрично разпределена случайна променлива

Ето тук имаме класическа геометрична случайна променлива. Дефинираме я като броя независими опити, които са нужни за успех, където вероятността за успех за всеки опит е малко р. Вече видяхме това и преди да се запознаем с геометричните случайни променливи. Целта на това видео е да помислим какво е математическото очакване на геометрична случайна променлива като тази. Ще ти кажа отговора, а в бъдещи видеа ще приложим тази формула. Но в това видео ще докажем математически, че математическото очакване на геометрична случайна променлива ще е равно на едно върху вероятността за успех на всеки отделен опит. Нека сега го докажем. Математическото очакване на всяка случайна променлива е просто вероятностно претеглените изходи, които може да съществуват. Можем да кажем, че вероятността нашата случайна променлива да е едно, умножено по едно, плюс вероятността нашата случайна променлива да бъде равна на две, умножено по две плюс и т.н. Схващаш идеята. Продължава до безкрай. Една геометрична случайна променлива може да приема стойности едно, две, три и т.н. Не може да бъде нула, защото не може да имаш успех, без направен опит. На какво ще бъде равно това тук? Нека видим... Каква е вероятността за успех на първия опит? Нека го напиша тук. Тя ще е р. Какво ще бъде това? Каква е вероятността да нямаме успех на първия опит, но да имаме успех на втория? Ще бъде равно на едно минус р. Това е първият опит без успех, умножен по успешния втори опит. Всъщност нека напиша още няколко члена. Ще изтрия малко тук. Това ще е вероятността Х да бъде равно на две. Грешка, вероятността Х да бъде равно на три. И така можем да продължим без край. Е, какво ще бъде това? Вероятността Х да бъде равно на три ще получим като вземем два неуспешни опита. Вероятността за два неуспешни опита е едно минус р на квадрат. После имаме един успешен опит. Вече схващаш основната идея. Бих искал да го напиша отново, за да го опростя. Математическото очакване, за целта на това доказателство, ще бъде равна на... Ще го напиша като 1р плюс 2р по едно минус р плюс 3р по едно минус р на квадрат. Можем да продължим така до безкрай. Е, как ще открием на какво е равна тази сума? Сега ще използвам малко математическа хитрост, или да я наречем гимнастика, която е напълно валидна. Ако вече видя доказателството за безкрайни геометрични прогресии, то сега ще използваме много сходна техника. Сега нека помислим, какво ще получим ако умножим математическото очакване по едно минус р ? Нека го направим. Нека напишем едно минус р по математическото очакване на Х. На какво ще бъде равно това? Е, ще умножа всеки един от тези членове по едно минус р. Едно р по едно минус р ще бъде 1р(1 – р). Това ще получим като първи член. Ами 2р по едно минус р? На какво ще бъде равно то? То ще бъде 2р по едно минус р и сега ще го умножа по едно минус р отново. Ще получим едно минус р на квадрат. Мисля, че разбираш как се получават. Така ще продължим да добавяме нататък останалите членове. Сега ще направим нещо наистина забавно и интересно, поне от математическа гледна точка. Ако това отляво е равно на това отдясно, т.е. ако лявата страна на уравнението е равна на дясната, то нека да извадим тази стойност и от двете страни. От лявата страна ще имаме математическото очакване на Х, което е горното, минус ето това отдолу. Записвам минус едно минус р по математическото очакване на Х. Всъщност просто изваждам това ( (1-р)Е(Х) ) от лявата страна. Нека да извадя и това от дясната страна. Е, бих могъл да извадя този израз от горния, но тези са еднакви, затова ще извадя това от горното. Какво се получава? Нека видим. Ще имаме 1 минус р и ако извадя 1р( 1 - р ) от 2р( 1 - р ) ще получа плюс 1р ( 1 - р ). И тогава ако извадя това от горното ще получа 1р ( 1 – р )². И така нататък, и така нататък. Нека опростим този израз малко. Ако вкарам минуса в скобите, тук ще имаме плюс, а това ще бъде ( р – 1 ). Сега ако разкрием скобите, ще получим следното от лявата страна. Нека приплъзна първо малко надолу. Не искам да сбивам написаното твърде много. Нека видим, тук имаме математическото очакване на Х, после р, умножено по математическото очакване на Х, р умножено по математическото очакване на Х, минус математическото очакване на Х. Тези двете се унищожават. Това ще е равно на р плюс р( 1 – р ) плюс р( 1 – р )². И така нататък. От лявата страна ми остана само р по оматематическото очакване на Х. Ако искам да реша уравнението спрямо математическото очакване на Х, трябва просто да разделя двете страни на р. И сега ще получа нещо доста елегантно с тази математическа гимнастика. Просто разделям двете страни на р. Отляво се получава математическото очакване на Х. Ако разделя всички тези членове на р, то първият ще бъде едно, вторият ще е ( 1 – р ), третият ще стане плюс ( 1 – р )² и така нататък.. Хубавото на този израз е, че това е класическа геометрична прогресия с частно р. И ако този израз ти е напълно непознат те насърчавам да го провериш. Точно затова и нашата променлива се казва геометрична случайна променлива. Насърчавам те да провериш какво е геометрична прогресия в Кан Академията, ако този израз ти е непознат. На друго място сме доказвали, използвайки много сходна техника като тази тук, че тази сума е равна на едно върху едно минус частното. Частното в случая е едно минус р. Е, какво се получи? Вече сме съвсем накрая. Това ще бъде равно на едно върху 1 – ( 1 – р ). Едно минус едно плюс р. Което се получава едно върху р. Ето това е доказателството, че математическото очакване на геометрична случайна променлива, използвайки малко готина математика, поне според мен, всъщност е равна на едно върху р.