Намиране на стойностите на тригонометрични функции чрез използване на формулите за функциите от сбор на два ъгъла.

В това видео искам да намеря на колко е равно синус от (7π върху 12), без да използвам калкулатор. Нека да визуализираме 7π върху 12 в единичната окръжност. Едното рамо на ъгъла лежи на положителната част от оста х (Ох). Право нагоре е разположено π върху 2, което е същото като 6π върху 12, т.е. имаме всъщност още едно π върху 12, за да стигнем до ето тук. Това е ъгълът, за който говорим – с мярка 7π върху 12 радиана. Неговият синус, съгласно определението за единична окръжност, е координатата у на точката, в която този лъч пресича окръжността. Това е единичната окръжност с радиус 1. Ето къде лъчът пресича окръжността. Координатата у е синусът на ъгъла. Другояче казано, това е дължината на тази линия. Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш самостоятелно. Използвай знанията си по тригонометрия, за да намериш sin(7π/12) или дължината на цикламената отсечка. Приемам, че вече пробва и, ако си като мен, може би вниманието ти вече е насочено към този триъгълник, който начертах вместо теб. Триъгълникът изглежда ето така. Искаме да намерим тази дължина тук – синус от 7π върху 12. Знаем, че дължината на хипотенузата е 1. Това е радиусът на единичната окръжност. А триъгълникът е правоъгълен. Знаем мярката на този ъгъл тук, който е този ъгъл ето тук. Това тук е 6π върху 12, после имаме още едно π върху 12 и знаем, че това е π върху 12. Знаем, че този ъгъл е с мярка π върху 12. Като знаем това, можем да изчислим... или поне да потърсим отношението на тази страна към тази, като използваме съответната тригонометрична функция. Това е прилежащият катет. Косинус от π върху 12 ще бъде равно на тази цикламена страна върху 1 или просто на дължината на тази цикламена страна. Можем да кажем, че това е косинус от π върху 12. Току-що открихме, че синус от 7π върху 12 е същото като косинус от π върху 12, но това още не ми върши работа. Не мога да пресметна колко е косинус от π върху 12 радиана, без да използвам калкулатор. Вместо това, да видим дали можем да обединим този ъгъл или да го разложим на няколко ъгъла, за които знаем синус и косинус. Кои са тези ъгли? Това са ъглите в специалните правоъгълни триъгълници. Например познаваме добре триъгълниците 30-60-90. Триъгълниците 30-60-90 изглеждат горе-долу така. Това е най-добрият ми опит да го начертая. Вместо да го напиша като 30 градуса, тъй като разсъждаваме в радиани, ще го напиша като π върху 6 радиана. А страната от 60 градуса ще представя като π върху 3 радиана, а това, разбира се, е правият ъгъл. Ако хипотенузата е равна на 1, страната, разположена срещу ъгъла от 30 градуса, или страната, дълга π върху 6 радиана, ще бъде равна на половината от хипотенузата, която в този случай е 1/2. Другата страна, разположена срещу ъгъла от 60 градуса, или страната, дълга π върху 3 радиана, ще бъде равна на квадратен корен от 3 по по-късата страна. Ще бъде равна на квадратен корен от 3 върху 2. Вече сме използвали тези видове триъгълници, за да намерим синус и косинус от 30 или 60 градуса или, в случая, от π върху 6 или π върху 3. Знаем за π върху 6 и π върху 3. Познаваме също триъгълниците 45-45-90. Знаем, че те са равнобедрени правоъгълни триъгълници. Те изглеждат така – най-сполучливият ми опит да го начертая. Този всъщност не изглежда като равнобедрен, така че нека да го направя по-добре... Това е по-близо до равнобедрен триъгълник. Ако дължината на хипотенузата е равна на 1, което следва от питагоровата теорема, дължината на всяка от другите две страни ще бъде квадратен корен от 2 върху 2 по хипотенузата, което в този случай е квадратен корен от 2 върху 2. Вместо да представяме тези ъгли като равни на 45 градуса, знаем, че това е същото като π върху 4 радиана. Ако имам π върху 6, π върху 3, π върху 4, мога да използвам тези триъгълници или класическите тригонометрични тъждества, или да ги отнеса към единичната окръжност, за да приложа нейното определение за синус, косинус и тангенс от тези ъгли. Мога ли да разложа 7π върху 12 на някаква комбинация от π върху 6, π върху 3 или π върху 4? Нека пренапиша π върху 6, π върху 3 и π върху 4 със знаменател 12. π върху 6 е равно на 2π върху 12, π върху 3 е равно на 4π върху 12, а π върху 4 е равно на 3π върху 12. 2 плюс 4 не е 7, 2 плюс 3 не е 7, но 4 плюс 3 е 7. Следователно мога да използвам π/3 и π/4 . 4π върху 12 плюс 3π върху 12 е равно на 7π върху 12. Мога да го пренапиша. Това е същото като синус от (3π върху 12 плюс 4π върху 12), което е същото като синус от π върху 4... Ще го оцветя по друг начин. Синус от π върху 4 плюс... ...плюс π върху 3. Нека използваме формулата за синус от сбор на ъгли сега, за да запишем това като сбор от произведенията на синусите и косинусите на тези ъгли. Хайде да го направим. Ето това тук ще бъде равно на синус от π върху 4 по косинус от π върху 3 плюс обратното – косинус от π върху 4 по синус от π върху 3, Сега просто трябва да намерим тези неща, а аз вече начертах триъгълниците, за да го направим. Колко е синус от π върху 4? Да помислим... Това тук е π върху 4. Синусът е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата. Това ще бъде квадратен корен от 2 върху 2. Това е квадратен корен от 2 върху 2, Колко е косинус от π върху 3? Това е ъгълът с мярка π върху 3 радиана. Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата. Това ще бъде 1/2. Колко е косинус от π върху 4? Да се върнем на π върху 4. Това е прилежащ към хипотенуза. Равно е на квадратен корен от 2 върху 2. Това е също квадратен корен от 2 върху 2, Колко е синус от π върху 3? Синусът е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата, следователно – квадратен корен от 3 върху 2 върху 1. Квадратен корен от 3 върху 2, делено на 1, което е квадратен корен от 3 върху 2. Сега просто трябва да опростим всичко това. Това ще бъде равно на произведението от тези... Става квадратен корен от 2 върху 4 плюс произведението от тези. Можем да запишем това като квадратен корен от 6 върху 4, квадратен корен от 6 върху 4 или да пренапишем цялото това като... Заслужаваме поне малко аплодисменти вече... Това е еквивалентно на... Нека да отида малко надясно. Това е еквивалентно на квадратен корен от 2 плюс квадратен корен от 6 – цялото това върху 4. Това е резултатът за синус от 7π върху 12 или за косинус от π върху 12 – ето това тук.