Основни правила за намиране на производни

Вече знаем правилото за намиране производна от степен и видяхме в последното видео, че производната на х на степен n е равна на n по х на степен n –1, при n различно от 0. Мислех да те запозная с още няколко правила, идеи или свойства за диференциране, които ще ни позволят да пресмятаме производната на всеки полином. Това са много важни неща. Първото нещо, за което искам да помислим, е защо го има този специален случай за n различно от 0? Какво става, когато n e равно на 0? Нека разгледаме ситуацията. Хайде да се опитаме да сметнем производната на х на степен 0. Какво ще бъде х на степен 0? Можем да предположим, че в този случай х е различно от 0. Ако е 0 на степен 0 – странни неща стават в този случай. Но ако х не е равно на 0, на какво е равно х на степен 0? Това е същото като производната на 1. х на степен 0 просто ще е 1. Тогава каква е производната спрямо х на 1? За да отговоря на този въпрос, ще го начертая. Ще начертая f(х)= 1, за да стане малко по-ясно. Това е оста у. Това е оста х. Нека начертая графиката у = 1 или f(x) = 1. Това тук е 1. f(x) = 1 е просто хоризонтална линия. Това тук е графиката у = f(x), което е равно на 1. Запомни, че един начин да представим производната е като наклона на допирателната права за всяка точка. Какъв е наклонът на допирателната във тази точка? И всъщност, какъв е наклонът във всяка точка? Това е права, така че наклонът не се променя. Има постоянен наклон. Това е напълно хоризонтална права. Тя има наклон 0. Следователно наклонът във всяка точка ще бъде равен на 0. Наклонът на тази права във всяка точка просто ще бъде равен на 0. Всъщност това ще бъде вярно за всяка константа. Да кажем, че имаме функцията f(x) =3 Да кажем, че у е равно на 3. Каква ще бъде производната на у спрямо х? Умишлено ти показвам всички различни начини за записване на производните. Каква е производната на у спрямо х? Може също да запишем като y' (прим). На какво ще е равно това? Това е наклонът за всяка точка. И виждаш, че няма значение на колко е равно х, наклонът тук ще бъде 0. Ще бъде 0. Следователно не важи само за х на степен 0. Ако вземем производната на всяка константа, ще получим 0. Нека запиша това. Производната спрямо х на всяка константа... да кажем А, където А е просто константа, това ще бъде равно на 0. Доста просто е. Нека разгледаме още няколко свойства. Да кажем, че искаме да сметнем производната спрямо х на... Нека използваме същото А. Да кажем, че имаме някаква константа по някаква функция. Производните се смятат доста лесно. Можеш да вземеш този скаларен множител, тази константа, и да я извадиш пред производната. Това ще бъде равно на А... Не исках да го правя в този цвят. Ще бъде равно на А по производната на f(x). А по производната на f(x). Нека го направя в син цвят. Другият начин за записване на производната на f(x) е просто да кажем, че това е същото нещо като А по това нещо тук е същото нещо като f прим от х. Това може да изглежда като доста сложен запис, но мисля, че ако ти дам пример, ще разбереш по-лесно. Ако те попитам за производната спрямо х на 2 по х на степен 5? Това свойство, което ти показах, казва, че това ще бъде същото като 2 по производната на х^5. 2 по производната спрямо х на х^5. Мога просто да взема този скаларен множител и да го поставя пред производната. Следователно това тук е производната на х на степен 5. И знаем как да направим това, използвайки правилото за степента. Това ще бъде равно на 2 по... нека го запиша. Искам да съм постоянен с цветовете. Това ще бъде 2 по производната на х на пета. Правилото за степента ни казва, че щом n e 5, получаваме 5 по х на степен 5 минус 1, което е 5 по х на четвърта. Следователно ще бъде 5 по х^4, което ще бъде равно на: 2 по 5 е 10, по х^4. 2х^5 можем буквално да кажем: Добре, правилото за степента ми казва, че производната на това е 5х^4. 5 по 2 е 10. Това доста опростява живота ни. Сега можем, използвайки правилото за степента и това свойства, да сметнем производната на всичко, което има вида А по х на степен n. Нека сега разгледаме друго много полезно свойство на диференцирането. И тези не важат само за правилото за степента, а за всяка производна. Но те са особено полезни при правилото за степента, защото ни позволяват да построяваме полиноми и да им смятаме производните. Но ако смятах производната на сбор от две функции... Да кажем, че едната функция е f(x), а другата функция е g(x). Късмет е, че това се получава същото нещо като производната на f(x) плюс производната на g(x). Следователно това е същото като... всъщност нека използвам този оператор за производни, за да бъде ясно. Това е същото нещо като производната спрямо х на f(x) плюс производната спрямо х на g(x). Ще сложим f(x) тук и ще сложим g(x) тук. Използвайки другия запис, можем да кажем, че това ще бъде същото нещо. Производната спрямо х на f(x), можем да запишем като f прим от х. Производната спрямо х на g(x), можем да запишем като g прим от х. Това може да ти изглежда като сложен запис, но когато видиш пример, ще ти стане доста ясно. Ако искаме да сметнем производната спрямо х на х на трета плюс х на –4, това просто ни казва, че производната на сбора е просто сборът на производните. Можем да сметнем производната на този член, използвайки правилото за степента. Ще бъде 3 по х на квадрат. А към това можем да добавим производната на това тук. Ще бъде плюс... това е друг нюанс на синьо... n е –4. Следователно плюс –4 по х на степен –4 минус 1. Получаваме х на степен –5. Можем да опростим малко. Това ще бъде равно на 3 по х на квадрат минус 4 по х на –5. Сега имаме всички нужни инструменти, за да смятаме производната на всеки полином. Хайде да се упражним малко. Да кажем, че имаме... ще го направя в бяло. Да кажем, че f(x) = 2х^3 – 7x^2 + 3х – 100 Колко е f прим от х? Каква ще е производната на f спрямо х? Можем да използваме свойствата, които ти показах. Производната на това просто ще бъде 2 по производната на х^3. Производната на х^3 ще бъде 3х^2. Следователно получаваме 2 по 3 по х^2. Каква ще е производната на –7х^2? Тя ще бъде –7 по производната на х^2, която е 2х. Каква ще е производната на 3х? Ще бъде 3 по производната на х или 3 по производната на х^1. Производната на х^1 е просто 1. Следователно това ще бъде плюс 3 по... можем да кажем 1 по х^0, но това е просто 1. И накрая каква ще е производната на константа? Нека го направя в друг цвят. Каква ще е производната на константа? Това го разгледахме в началото на това видео. Производната на всяка константа е просто 0, следователно плюс 0. Сега сме готови да опростим. Производната на f ще бъде 2 по 3х^2 е просто 6х^2. –7 по 2х е –14х плюс 3. Няма нужда да записваме нулата. И сме готови. Сега разполагаме с всички правила за намиране на производната на всеки полином и дори на неща, които са над полиномите.