Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 6

Урок 8: Обратни функции

Намиране на обратни функции

Научи как да намериш формулата на обратната на дадена функция. Например намери обратната на f(x)=3x+2.

Обратните функции в най-общ смисъл са функции, които са "противоположни" една на друга. Например ако

f

отнася

a

към

b

, то тогава обратната функция

f^{- 1}

трябва да отнася

b

към

a

Или с други думи

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

В тази статия ще научим как да намираме формулата на обратната функция, ако имаме формулата на първоначалната.

Преди да започнем...

В този урок ще намерим обратната функция на

f (x) = 3 x + 2

Преди да го направим, нека първо помислим как ще намерим

f^{- 1} (8)

За да намерим

f^{- 1} (8)

, трябва да намерим аргумента на функция

f

, който съответства на стойност на функцията

8

. Това е така, защото ако

f^{- 1} (8) = x

, тогава според определението за обратни функции

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Нека f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & Изваждаме 2 от двете страни \\ 2 & = x & Разделяме двете страни на 3 \end{aligned}

Следователно

f (2) = 8

, което означава че

f^{- 1} (8) = 2

Намиране на обратни функции

Можем да обобщим това, което направихме по-горе, за да намерим

f^{- 1} (y)

за всяко

y

За да намерим

f^{- 1} (y)

, можем да намерим аргумента на

f

, който съответства на стойността на функцията

y

. Това е така, защото когато

f^{- 1} (y) = x

, тогава според определението за обратна функция

f (x) = y

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Нека f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & Извади 2 от двете страни \\ \frac{y - 2}{3} & = x & Раздели двете страни на 3 \end{aligned}

Следователно

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Тъй като избираме произволна променлива, можем да напишем това като

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Тъй като обратните функции разменят местата на аргументите и стойностите, друг начин да намерим

f^{- 1}

е да разменим

x

y

първоначално и след това да намерим

y

, за да напишем обратната във вид на функция.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Заместваме f(x) с y \\ x & = 3 y + 2 & Разменяме x и y \\ x - 2 & = 3 y & Изваждаме 2 от двете страни \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Разделяме двете страни на 3 \end{aligned}

Следователно

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Забележи приликите между двата метода. Във всеки от случаите уравнението е решено за променлива, която не е изолирана. Основната разлика включва момента, когато променливите биват обърнати. (Първият метод прави това в края, а вторият метод го прави в началото.)

Провери знанията си

1) Линейна функция

Намери обратната на функция $g (x) = 2 x - 5$ ‍.

g^{- 1} (x) =

За да започнеш, замести

g (x)

y

. След това намери

x

\begin{aligned} g (x) & = 2 x - 5 \\ y & = 2 x - 5 & Замести g(x) с y \\ y + 5 & = 2 x & Прибави 5 към двете страни \\ \frac{y + 5}{2} & = x & Раздели двете страни на 2 \\ \frac{y + 5}{2} & = g^{- 1} (y) & Замести x с g^{- 1} (y) \end{aligned}

Тъй като изборът на променливата е произволен, сега можем да разменим

y

x

, за да напишем обратната функция по отношение на

x

$g^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{2}$ ‍

2) Кубична функция

Намери обратната функция на $h (x) = x^{3} + 2$ ‍.

h^{- 1} (x) =

За да започнеш, замести

h (x)

y

. След това намери

x

\begin{aligned} h (x) & = x^{3} + 2 \\ y & = x^{3} + 2 & Замести h(x) с y \\ y - 2 & = x^{3} & Извади 2 от двете страни \\ \sqrt[3]{y - 2} & = x & Изчисли кубичния корен от двете страни \\ \sqrt[3]{y - 2} & = h^{- 1} (y) & Замести x с h^-1 (y) \end{aligned}

Тъй като изборът на променливата е произволен, сега можем да разменим

y

x

, за да напишем обратната функция по отношение на

x

h^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}

3) Функция с кубичен корен

Намери обратната функция на $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍.

f^{- 1} (x) =

Първо замести

f (x)

y

. След това намери

x

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & Замести f(x) с y \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & Раздели двете страни на 4 \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & Изчисли на кубичен корен от двете страни \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & Замести x с f^{- 1} (y) \end{aligned}

Тъй като изборът на променливата е произволен, сега можем да разменим

y

x

, за да напишем обратната функция по отношение на

x

Следователно

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

или

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) Рационални функции

Намери обратната функция на $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍.

g^{- 1} (x) =

За да започнеш, замести

g (x)

y

. След това намери

x

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Замести g(x) с y \\ y (x - 2) & = x - 3 & Умножи двете страни по x-2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & Разкрий скобите \\ y x - x & = 2 y - 3 & Групирай членовете с x от едната страна \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & Изнеси пред скоби x \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Раздели двете страни на y-1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Замести x с g^{- 1} (y) \end{aligned}

Тъй като изборът на променливата е произволен, сега можем да разменим

y

x

, за да напишем обратната функция по отношение на

x

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Задача с повишена трудност

Свържи всяка функция с вида на нейната обратна.

1

Можеш да решиш тази задача без да намираш действителните обратни функции. Просто помисли какви действия ще "обърнат" функцията. Или използвай като помощ това, което използвахме по-горе.

Функция	Вид обратна функция
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Линейна
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	С кубичен корен
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Рационална
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	Квадратна

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.