Намиране на обратни функции: квадратни

Имаме функцията f(х) = (х + 2)^2 + 1 и сме ограничили нашето дефиниционно множество (ДМ) до х, по-голямо или равно на -2. Там нашата функция е определена. И искаме да намерим нейната обратна функция. И ще те оставя да помислиш за това защо трябва да я ограничим до x, по-голямо от или равно на -2. Защо нямаше да е възможно да намерим обратната функция, ако графиката на първоначалната ни функция беше пълна парабола? Може би ще направя едно видео за това в бъдеще. Но нека просто намерим обратната функция тук. И така, както казахме в първото видео, във въведението към обратни функции, ние се опитваме да намерим съпоставянето. Или, ако бяхме казали, че y е равно на (х + 2)^2 + 1... Това е функцията, при която имам х х и то се съпоставя на y. Искаме да отидем в обратната посока. Искам да ти дам у, което да съпоставим на х. Тоест по същество ние просто намираме x по отношение на y. Нека го направим стъпка по стъпка. Първо можем да извадим 1 от двете страни на това уравнение. (у - 1) = (х + 2)^2 И сега, може да ти се прииска да вземеш корен квадратен тук. И това всъщност ще бъде правилното нещо да направим. Но е много важно да помислим дали искаме да вземем положителния или отрицателния корен квадратен тук. Ограничили сме ДМ до х, по-голямо или равно на -2. Така че тази стойност тук, (х + 2), ако x е винаги по-голямо или равно на -2, (х + 2) винаги ще бъде по-голямо или равно на 0. Така че този израз тук, това тук, е положително. Това е положителна стойност. Имаме положително число на квадрат. Ако наистина искаме да имаме (х + 2) в даденото ДМ, ще искаме да вземем положителния квадратен корен. И в следващото видео или във видеото след това ще решим пример, където ще искаме да вземем отрицателния корен квадратен. Така че ще вземем положителния корен квадратен или основния корен квадратен, който е просто знака за квадратен корен, от двете страни. И така, получаваме, че корен квадратен от (у - 1) е равно на (х + 2). И това, което не трябва да забравяме, е, че от самото начало имахме ограничение за x. Имаме за x, по-голямо или равно на на -2. Но какво ограничение може да имаме за y? Ако погледнем графиката тук, x е по-голямо или равно на -2. Но какво е у? Какво е множеството от y стойности, които можем да получим тук? Ами, ако просто погледнем графиката, y винаги е по-голямо от или равно на 1. И това идва просто от факта, че този член ето тук винаги ще бъде по-голям или равен на 0. Така че минималната стойност, която функцията може да приеме, е 1. Така че бихме могли да кажем, че при x, по-голямо или равно на -2, можем да добавим, че у винаги ще е по-голямо или равно на 1. y е винаги по-голямо или равно на 1. Функцията е винаги по-голяма или равна на това там – на 1. И причината, поради която искам да го напиша на този етап, е защото знаем, че по-късно ще разменим хиксовете и игреците. И така, нека го оставим така. Тук не сме намерили изрично х и у. Но можем да напишем: "за y, по-голямо или равно на 1". Това ще бъде ДМ за нашата обратна функция. Тоест тук можем да го направим за у, по-голямо или равно на 1. Това ограничение за y ще има по-голямо значение, защото тук ДМ е за x, но за обратната функция ДМ ще е за у. И след това, нека да видим. Имаме корен квадратен от (у - 1) е равно на (х +2). Сега можем да извадим 2 от двете страни. Получаваме квадратен корен от (y - 1), минус 2, е равно на х, за y, по-голямо или равно на 1. И така, намерихме х по отношение на у. Или можем да кажем... Нека просто го напишем по друг начин. Можем да кажем, че х е равно на – просто разменям тези – х е равно на корен квадратен от (у - 1), минус 2, за у, по-голямо или равно на 1. Ето новият начин, по който го написахме. y е въведената променлива във функцията, която ще бъде обратната на тази функция, x е резултатът; x сега е функционалното множество. Ние дори бихме могли да напишем това отново като обратна f(y) функция – това е x – е равно на корен квадратен от (у - 1), минус 2, за y, по-голямо или равно на 1. И това е обратната функция. Бихме могли да кажем, че това е нашият отговор. Но много често ни искат отговора по отношение на x. И ние знаем, че можем да поставим всичко тук. Ако сложим 'а' тук, можем да направим обратната f(а) функция. Тя ще стане корен квадратен от (а - 1), минус 2, за... Добре, приемайки, че а е по-голямо или равно на 1. Но можем да поставим и х тук. Така че ние просто заменяме у с х. Просто можем да преименуваме тук. Просто можем да преименуваме у на х. И тогава ще получим – нека превъртя малко надолу. Ще имаме обратна f(x) функция – ще го подчертая тук, само за да ти покажа, че преименуваме у с х. Можем да го преименуваме с каквото и да е, наистина... Е равно на квадратен корен от (х - 1), минус 2, за – трябва да преименуваме това също – за x, по-голямо или равно на 1. И така, сега имаме нашата обратна функция, като функция на x. И ако го начертаем – нека дадем най-доброто от себе си да го начертаем. Може би най-лесният начин да го направим е да нанесем няколко точки тук. И така, най-малката стойност за х, която можем да вземем е, 1. Ако сложим 1 тук, получаваме 0 тук. Така че точката (1; -2) е на графиката на нашата обратна функция. (1; -2) е тук. И след това, ако отидем до 2, да видим, 2 минус 1 е 1. Корен квадратен от 1 е 1, минус 2, става -1, и точката (2; -1) е тук. И нека помислим за това. Ако видим 5 – опитвам се да получа точен квадрат 5 минус 1 е 4, минус 2. Точката (5; 2)... Нека се уверя. 5 минус 1 е 4. Квадратният корен е 2, минус 2, е 0. Така че точката (5; 0) е тук. И така, графиката на обратната функция – тя е определена само за х по-голямо или равно на -1. Така че графиката на обратната функция ще изглежда по следния начин. Тя ще изглежда нещо такова... Започнах добре и го обърках. И така, тя ще е нещо такова. Ето така. И точно както видяхме в началото, при въведението към обратни функции, това са симетрични образи спрямо права у = х. Нека начертая правата у = х. у = х е тази права. Забележи, че те са симетрични образи спрямо тази права. Тук ние съпоставихме 0 на 5. Ако x е 0, резултатът е 5. Тук отиваме в обратната посока. Съпоставяме 5 на 0. Ето защо графиките са симетрични. Ние просто разменихме х и у.