Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 6

Урок 6: Въведение в логаритмите

Логаритми: въведение

Какво е логаритъм и как се пресмята.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Би трябвало да си запознат/а със степените, за предпочитане включително степени със степенен показател отрицателно число.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш какво е логаритъм и как се пресмята. След това ще си добре подготвен/а за работа с логаритмични изрази и функции.

Какво е логаритъм?

Логаритмите са друг начин за представяне на степените.

Знаем например, че

2

повдигнато на

4^{-та}

степен е равно на

16

. Това може да се изрази чрез логаритми (в логаритмична форма) посредством следното равенство:

2^{4} = 16

Сега да предположим, че някой ни пита: "

2

повдигнато на коя степен е равно на

16

?" Отговорът ще бъде

4

. Това се изразява чрез логаритмичното равенство

\log_{2} (16) = 4

, което се чете като "логаритъм от шестнадесет с основа две е четири".

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

Двете равенства описват една и съща връзка между числата

2

4

16

, където

2

е основата, а

4

е степенният показател.

Разликата между двата начина на представяне е, че при запис в експоненциална форма в резултат получаваме самата степен –

16

, а при запис в логаритмична форма в резултат получаваме степенния показател –

4

Ето още примери за еквивалентни равенства, записани в логаритмична и експоненциална форма.

Логаритмична форма		Експоненциална форма
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Определение за логаритъм

Обобщаването на горните примери на води до официалното определение за логаритъм.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

Двете равенства описват една и съща връзка между

a

b

c

$b$ ‍ е $основата$ ‍,
$c$ ‍ е $степенният показател$ ‍, а
$a$ ‍ се нарича $аргумент$ ‍.

Полезна забележка

Когато преобразуваш равенство, съдържащо степени, в логаритмичен вид, или логаритмично равенство във вид със степени, полезно е да помниш, че основата на логаритъма е същата като основата на степента.

Провери знанията си

Преобразувай следните равенства в равенства със степени и равенства с логаритми.

Задача 1

Кой от следните изрази е еквивалентен на израза $2^{5} = 32$ ‍?

Задача 2

Кой от следните изрази е еквивалентен на израза $5^{3} = 125$ ‍?

Задача 3

Представи израза $\log_{2} (64) = 6$ ‍ като израз, съдържащ степени.

Задача 4

4) Представи $\log_{4} (16) = 2$ ‍ като израз, съдържащ степени.

Пресмятане на логаритми

Чудесно! Сега, когато разбираме връзката между изрази със степени и изрази с логаритми, нека да видим дали можем да пресмятаме логаритми.

Например нека пресметнем

\log_{4} (64)

Нека започнем, като кажем, че този израз е равен на

x

\log_{4} (64) = x

Ако запишем това като равенство със степени, получаваме следното:

4^{x} = 64

4

на коя степен е

64

4^{3} = 64

, тоест

\log_{4} (64) = 3

Като придобиеш повече практика, може да започнеш да съкращаваш някои от тези стъпки и да пресмяташ

\log_{4} (64)

просто като се запиташ: " $4$ ‍ на коя степен е $64$ ‍?"

Провери знанията си

Помни, когато пресмяташ

\log_{b} (a)

, можеш да се запиташ: "

b

на коя степен е

a

Задача 5

\log_{6} (36) =

Задача 6

\log_{3} (27) =

Задача 7

\log_{4} (4) =

Задача 8

\log_{5} (1) =

Задача с повишена трудност

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Ограничения на променливите

\log_{b} (a)

е дефиниран, когато основата

b

е положителна – и не е равна на

1

– и аргументът

a

е положителен. Тези ограничения са резултат от връзката между логаритми и степени.

Ограничение	Причина
$b > 0$ ‍	В една показателна функция основата $b$ ‍ винаги се дефинира като положителна.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ означава, че $b^{c} = a$ ‍. Понеже едно положително число, повдигнато на която и да е степен, е положително, това означава, че $b^{c} > 0$ ‍, следва, че $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	За момент предположи, че $b$ ‍ може да е $1$ ‍. Сега помисли върху уравнението $\log_{1} (3) = x$ ‍. Еквивалентният му вид, съдържащ степени, би бил $1^{x} = 3$ ‍. Но това никога не може да бъде вярно, тъй като $1$ ‍ на която и да е степен е винаги $1$ ‍. Оттам следва, че $b \neq 1$ ‍.

Специални логаритми

Докато основата на един логаритъм може да има много различни стойности, има две основи, които се използват по-често от другите.

По-специално, повечето калкулатори имат бутони само за тези два вида логаритми. Нека ги разгледаме.

Десетичен логаритъм

Десетичният логаритъм е логаритъм, чиято основа е

10

("логаритъм с основа

10

").

Когато записваме тези логаритми математически, ние пропускаме основата. Подразбира се, че тя е

10

\log_{10} (x) = \log (x)

Забележка: В САЩ логаритъм от x с основа 10 се записва като "log x", а у нас - като "lg x".

Естествен логаритъм

Естественият логаритъм е логаритъм, чиято основа е числото

e

("логаритъм с основа

e

").

e

е математическа константа. Тя е ирационално число, което е приблизително равно на 2,718. Появява се в най-различни случаи, които включват граници, които вероятно ще срещнеш, когато изучаваш висша математика. Засега просто ще се отнасяме към

e

както към всяко друго число.

Вместо да записваме основата като

e

, обозначаваме логаритъма с

\ln

\log_{e} (x) = \ln (x)

Тази таблица обобщава това, което трябва да знаем за тези два вида специални логаритми:

Име	Основа	Обикновено обозначаване	Специално обозначаване
Десетичен логаритъм	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Естествен логаритъм	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Въпреки че начинът на записване е различен, начинът, по който пресмятаме тези логаритми, е абсолютно същият!

Естествено! Ето два примера с решения.

Пример 1

Пресметни

\log (100)

. Забележка: В САЩ логаритъм от а с основа 10 се записва като "log a", а у нас - като "lg а".

Решение 1

По дефиниция,

\log (100) = \log_{10} (100)

10

на коя степен е

100

10^{2} = 100

, тоест

\log (100) = 2

Пример 2

Пресметни

\ln (e^{3})

Решение 2

По дефиниция

\ln (e^{3}) = \log_{e} (e^{3})

e

на коя степен е

e^{3}

e^{3} = e^{3}

, тоест

\ln (e^{3}) = 3

Защо изучаваме логаритми?

Както току-що научи, логаритмите са обратното на степените. Ето защо те са полезни за решаването на показателни уравнения.

Например решението на показателното уравнение

2^{x} = 5

може да бъде дадено като логаритъм,

x = \log_{2} (5)

. Ще научиш как да пресмяташ този логаритмичен израз в следващите уроци.

Логаритмичните изрази и функции също се оказва, че са много интересни сами по-себе си и всъщност са много често срещани в света около нас. Например много физични феномени се измерват с помощта на логаритмични скали.

Какво следва?

Ще учим за свойствата на логаритмите, които ни помагат да преработваме логаритмичните изрази, и за правилото за промяна на основата, което ни помага да пресметнем всеки алгоритъм, който искаме, като използваме калкулатор.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.