If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:56

Действия с вектори

Видео транскрипция

Преди три дни Кийта тръгва от базовия лагер на пътешествие през джунглата. Пътешествието от три дни може да се опише чрез вектори на преместването (с разстояние и посока), където преместването се описва от разстояние с дадена посока, това са векторите d1, d2, и d3. Описани са тук. Разстоянията са дадени в километри. Колко далече от лагера е Кийта на края на третия ден? Да помислим. Това е неговата начална точка. През първия ден стига до тук. Също така виждаме и посоката. Ще начертая компас. Насам е север, изток, запад и юг. Можем да разложим вектора на преместването като колко е изминал в източна и колко в северна посока. Даденото ни показва, че е изминал 7 в източна посока. Тук имаме 7 мерни единици по хоризонталата. В северна посока е изминал 8. Отбелязваме и вертикалната компонента. Ето така. Това е 7, а това 8. През втория ден изминава 6 мерни единици, те отговарят на километри, значи 6 километра на изток. Отмервам 6 единици. В северна посока е изминал 2 километра. Пристига ето тук. И накрая, през третия ден източната компонента на преместването му е 2 километра, а северната компонента е 9 километра. За да намерим колко далеч от лагера се намира на края на третия ден, трябва да пресметнем общото му преместване. Колко е големината на вектора, който е сбор от тези три? Търсим големината на този вектор. Ще го обознача като d(t), t идва от тотално (общ сбор). Това е общото преместване. Виждаш на чертежа, че нашият вектор на общото преместване е равен на сбора от тези три вектора: d1 + d2 + d3. За да съберем тези три вектора, можем просто да съберем техните съответни компоненти. Общото преместване по хоризонталата е равно на сбора от хоризонталните компоненти, което са преместванията в източна посока. Общо на изток имаме 7 + 6 + 2. В северна посока имаме общо 8 + 2 + 9. Векторът на общото преместване може да се запише в такава форма: Тук имаме 7 + 6 = 13, + 2, 15 в източна посока, или източната компонента на преместването е 15; в северна посока имаме 19. Това е този вектор. Неговата източна компонента е 15, а северната е 19. Нека изясня това. Това разстояние, или ако говорим за този триъгълник, дължината на този катет е 19, това е общото преместване в северна посока, а общото преместване в източна посока е 15. Търсим дължината на хипотенузата, която е големината на вектора на общото преместване. За да я намерим ще използваме теоремата на Питагор. Това е правоъгълен триъгълник. 15 на квадрат + 19 на квадрат е равно на квадрата от търсената големина. Големината е равна на квадратен корен от 15 на квадрат + 19 на квадрат. Ще използвам калкулатора. Имам корен квадратен от 15 на квадрат + 19 на квадрат, това е 24 и още, да видим, търси се с точност до десети, това е 24,2. Разстоянието е 24,2 километра по права линия. Пита се също и в каква посока спрямо лагера се намира след третия ден. Трябва да я намерим с точност до градуси. Отговорът трябва да е между 0 и 180 градуса. Тук предполагам, че имат предвид най-честото определение за посока. Условието трябва да е по-прецизно като описва какво се търси, за да няма място за съмнения. Обикновено посоката на вектор се дава като ъгъла спрямо положителната посока на оста х. В нашия случай това е спрямо източната посока. Това е този ъгъл тук. Ще го нарека тета. Как да намерим тета? Той е ъгъл в нашия правоъгълен триъгълник. Знаем дължината на този катет, той е 19. Знаем дължината и на другия катет, 15. Значи знаем срещулежащия спрямо тета катет и прилежащия му катет. Коя тригонометрична функция е тяхното отношение? Тангенс. Да запишем колко е тангенс от тета. Равно е на 19/15. Това е срещулежащ върху прилежащ катет. За да намерим ъгъл тета, можем да се убедим дали обратният тангенс е търсеният от нас ъгъл. По определение обратният тангенс ще даде ъгъл между минус Пи върху 2 и Пи върху 2, ако мислим в радиани, но тук търсеното е в градуси, затова ще мислим в тях: между -90 и 90 градуса. Този ъгъл определено е в тези граници. Дори е между 0 и 90 градуса. Като вземем обратния тангенс вече знаем, че ще получим правилния ъгъл. Иначе щеше да ни се наложи да правим компенсации. Тета е равен на обратния тангенс от 19/15. Ще използвам калкулатора да го пресметна. Проверявам дали е настроен в режим на градуси и взимам обратния тангенс от 19/15. Това е равно на тази десетична дроб. Търси се закръглена до градуси, значи отговорът ни е 52 градуса. 52 градуса изглежда добре и на чертежа. Ъгълът изглежда малко повече от 45 градуса, на което 52 градуса не противоречи. Готови сме със задачата.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".