Доказателство: Връзка между векторно произведение и синуса на ъгъл

Целта на това видео е да започнем да дефинираме векторно произведение и резултатът, с който ще започнем, или който получихме в друго видео... мисля, че беше преди три урока, където установихме, че скаларното произведение на два ненулеви вектора, вектор а по вектор b, е равно на произведението на техните дължини по... на произведението на дължината на вектор а по дължината на вектор b по косинуса на ъгъла между двата вектора. Ще започнем с тези две неща. Това е определението за векторно произведение в R3, единственото място (множество), където то действително е определено, и това тук е резултатът от него. Искаме да стигнем до резултата, че дължината на векторното произведение на два вектора – очевидно, когато намираме векторно произведение, резултатът е вектор. Но ако вземем дължината му, ще получим отново число, просто една скаларна величина, равна на произведението от дължините на векторите. То е произведението на дължината на вектор а по произведението от дължината на вектор b, по синуса на ъгъла между тях. Което е много хубав резултат, защото един вид ни показва, че това са двете страни на една и съща монета. Скаларното произведение съдържа косинус, а векторното произведение съдържа синус. Сигурен съм, че вече си виждал/а това. Със сигурност ти е познато, ако си гледа/а видео уроците ми по физика. Даже има цяло видео, в което разглеждам какво точно означава това. Насърчавам те да ги гледаш отново, и вероятно аз ще ги направя отново в контекста на линейната алгебра. Но целта на това видео е да ти дам доказателството на това. Искам да докажа, че с това и това можеш да достигнеш до това. Но ако просто ми повярваш, и кажеш: "Виждал съм го и преди." Смятам, че това е така, и тогава няма нужда да гледаш това видео до края, защото ти казвам отсега, че нещата ще станат доста гаднички. Това ще е едно много, много сложно доказателство. Но ако искаш да гледаш и останеш с мен, тогава да започваме с доказателството. Ще започна от идеята, че взимам дължината на векторното произведение на вектор а и вектор b и я повдигам на квадрат. Тук ще имаме знак "x" (знак за векторно произведение). Всъщност взимам дължината на този вектор, повдигната на квадрат. Видяхме в много уроци досега, и аз използвах тази идея много пъти, че ако имам един произволен вектор, нека да имаме един произволен вектор. Ако повдигна дължината му на втора степен, това е равно на скаларното произведение на този вектор по самия себе си, или на сбора от квадратите на всеки от тези членове чак до xn на квадрат. На какво ще е равно това? Това е равно просто на този вектор. Тук имаме три компонента, така че е равно на сбора от квадратите на всеки от комопнентите. Ще го запиша. Равно е на този член на квадрат... Ще го запиша. (а2b3 – a3b2) на квадрат. Плюс този член на квадрат. Значи плюс (a3b1 – a1b3) на квадрат. И, накрая, плюс този член на квадрат. Значи плюс (a1b2 – a2b1) на квадрат. На колко е равно това? Можем да го развием. Нека да го развием. Този член ето тук, ще трябва просто да развием двучлен на втора степен. Правили сме го много пъти. Това ще е равно на а2 на квадрат b3 на квадрат, после умножаваме тези двете едно по друго два пъти. Значи минус 2... просто умножавам тези. Минус 2 по a2 a3 b2 b3. Разместих ги, за да са подредени правилно. Плюс а3 на квадрат, b2 на квадрат. Този член на квадрат. После добавям този член. Значи плюс а3 на квадрат b1 на квадрат минус 2 по произведението на тези два члена. Минус 2 по a1 a3 b1 b3. Плюс този член на квадрат. a1 на квадрат b3 на квадрат. И накрая този член на квадрат. Значи плюс a1 на квадрат b2 квадрат минус 2 по a1 a2 b1 b2. Плюс a2 на квадрат b1 на квадрат. Ето така. Да видим можем ли да запишем това във вид... Ще го запиша във вид, който по-късно ще ни е полезен. Ще изнеса извън скоби членовете, съдържащи квадратите на а2, а1 и а3. Значи мога да запиша това като – ще избера неутрален цвят. Това е равно на – ако просто запиша а1 на квадрат, къде имам членове а1? Имам един ето тук, и после имам един ето тук. Значи а1 на квадрат по b2 на квадрат плюс b3 на квадрат. Това е b3 на квадрат. Добре. Къде са членовете а2? плюс а2 на квадрат по... а2 имаме в ето този член и в този. Значи по b1 на квадрат. Това е ето това. Плюс b3 на квадрат. И накрая... ще избера различен цвят. Ще използвам отново жълто. Плюс а3 на квадрат по... има го в този член и този член. Значи b1 и b2. Значи b1 на квадрат и b2 на квадрат. Разбира се, не трябва да забравям цялата тази каша, която имам в средата, всичко това ето тук. Значи плюс, или може би трябва да запиша минус 2 по всичко това. Ще го напиша много бързо. Значи това е a2 a3 b2 b3 плюс a1 a3 b1 b3 плюс a1 a2 b1 b2. Готово. Сега да оставим това за малко. За кратко да оставим това настрани. Ще оставим това равенство да си почине за малко. Спомни си, това е само развиване на израза за дължината на вектора, получен като векторно произведение на векторите а и b (вектор а по (х) вектор b), повдигната на квадрат Това е всичко това. Просто го запомни. Сега да направим едно друго точно толкова дълго и трудно изчисление. Да вземем този резултат тук. Знаем, че дължината на вектор а по дължината на вектор b, по косинуса от ъгъла между тях е равно на скаларното произведение на вектор а и вектор b. Което е все едно взимаме скаларното произведение на векторите а и b (вектор а по (.) вектор b) а то по определение е равно на a1 по b1 плюс a2 по b2, плюс a3 по b3. Сега, само за да се уверя, че стигнах до възможно най-трудната задача, да повдигнем на квадрат двете страни. Ако повдигнем на квадрат тази страна, получаваме дължината на вектор а на квадрат, дължината на вектор b на квадрат, косинус на квадрат. После получаваме скаларното произведение на вектор а и на вектор b на квадрат, а след това - цялото това нещо на квадрат. Колко е цялото това на квадрат? За мен е по-лесно просто да запиша всичко отново, вместо да пиша квадрат, просто умножавам това по а1b1 плюс a2 b2 плюс a3 b3. Сега да направим умножение на полиноми. Първо да умножим този член по всеки от тези членове. Имаме a1 b1 по... тук има a1 b1. Ще го направя точно тук. Получаваме а1 на квадрат b1 на квадрат плюс а1... плюс това по това. Плюс a1 a2 по b1 b2. Плюс този член по този член. Плюс a1 a3 по b1 b3. Добре. Сега да видим втория член. Трябва да умножим този член по всеки от тези членове. Значи a2 b2 по a1 b1. Това е ето това тук. a2 b2 по a1 b1. Записах това ето тук, защото този член е всъщност същия като този, а, евентуално, ще искаме да опростим това. Значи това е това по този член. После имаме този член по този ето тук. Ще го напиша ето тук. Това е a2 на квадрат b2 на квадрат. Слагам плюс ето тук. И накрая, този член в средата по този третия член. Ще го напиша ето тук. Плюс a2 a3 b2 b3. Сега ни остана само един. Може би ще го направя с този син цвят. Трябва да умножа този член по всеки от тези членове. Значи a3 b3 по a1 b1. Това е същото като този член ето тук. Тук имаме а3. Ще го запиша ето тук. Имаме a3 b3 по a1 b1. После имаме този член по този член, което е това, защото е a3 b3 по a2 b2. Тук ще сложа знак плюс. И накрая имаме този член по самия него. Така че имаме a3 на квадрат b3 на квадрат. Ако съберем всичко това, какво ще получим? Ще премина на нов цвят. Получаваме a1 на квадрат b1 на квадрат. Плюс... използвам тези цветове в определен ред съзнателно, a2 на квадрат b2 на квадрат. Плюс a3 на квадрат b3 на квадрат. Плюс... сега ще използвам бяло. Плюс – какво имаме тук? Имаме два пъти този член. Имаме два пъти този член. И после имаме два пъти този член. Значи плюс 2 по, скоби, а1... ще го напиша. Плюс 2 по a1 a2 b1 b2 – това е този член. Плюс този член ето тук. Плюс a1 a3 b1 b3. И накрая плюс ето този член. a2 a3 плюс b2 b3. Може би вече забелязваш нещо интересно. Ако сравниш този член ето тук с този член ето тук, те са еднакви. Имаш a1 a2 b1 b2 и a1 a2 b1 b2. Този член и този член са еднакви. Да разгледаме останалите членове. Ще избера хубав цвят. a1 a3 b1 b3, a1 a3 b1 b3. Този член и този член са еднакви. И накрая, ако сравним a2 a3 b2 b3. Това не трябва да е плюс. Този е същия като този. Значи а2а3... те са умножени. a2 a3 b2 b3, a2 a3 b2 b3. Този член и този член са еднакви. И в този израз, когато го развием, имаме 2 пъти това, положително 2 пъти това. И този член тук, когато го развихме, имаме минус 2 по това. Да видим можем ли да опростим малко нещата. Какво ще стане, когато съберем това и това? Да го направим. Това става вълнуващо. Получаваме а х b, дължината на това на квадрат. И ще го добавим към този израз ето тук, така че плюс квадрата на дължината на вектор а, по квадрата на дължината на вектор b, по квадрата на косинуса на ъгъла между тях. На какво е равно това? Това ще е равно на това нещо плюс това нещо. Сега да опростим. Колко е това плюс това? Вече казах, че това е минус 2 по това. Това е плюс 2 по това. Така че този член – искам да поясня. Тези тук ще се унищожат. Когато съберем тези два члена, те ще се унищожат. Тези членове ще се унищожат. Слава Богу. Унищожават се. Това ни улеснява живота. И какво ни остана? Остана ни това ето тук плюс това ето тук. После виждаме, че имаме а1 на квадрат, така че просто събираме коефициентите на а1 на квадрат. Събираме коефициентите на а2 на квадрат. Събираме коефициентите на а3, и какво получаваме? Получаваме а1 на квадрат по този коефициент плюс този коефициент. Получаваме b1 на квадрат плюс b2 на квадрат, плюс b3 на квадрат. Нещата започват изведнъж малко да се подреждат. После имаме плюс а2 на квадрат по сумата от всички негови коефициенти. Значи b1 на квадрат плюс b2 на квадрат, плюс b3 на квадрат. И накрая, в жълто, имаме плюс а3... извинявам се, опитвах се да го направя в жълто. Имаме а3 на квадрат и имаме това. Имаме b1 на квадрат, b2 на квадрат, b3 на квадрат. Значи b1 на квадрат плюс b2 на квадрат, плюс b3 на квадрат. И, както виждаш, умножаваме всички тези неща по това b1 на квадрат плюс b2 на квадрат, плюс b3 на квадрат, така че всъщност можем да го изнесем пред скоби и ще получим нещо много интересно. Това е равно на, ако изнесем това нещо пред скоби от всички членове, получаваме b1 на квадрат плюс b2 на квадрат, плюс b3 на квадрат. по моите членове а на квадрат. По а1 на квадрат плюс а2 на квадрат плюс а... започвам да се вълнувам, вече сме почти на финала – плюс а3 на квадрат. Значи тези две неща са равни едно на друго. Но какво е това? По какъв друг начин можем да го запишем? Това е същото като скаларното произведение на вектор b и вектор b, или квадрата на дължината на вектор b И това какво е? Това е квадрата на дължината на вектор а. Това е скаларното произведение на вектор а по вектор а. Ще преработя всичко. Имаме дължината на вектор а... това е по-тъмно зелено. Векторното произведение на вектор а по вектор b, цялото на квадрат, плюс това нещо. Плюс дължината на... плюс...всъщност ще копирам това. Започна да става монотонно. Плюс това нещо ето тук. Защо не стана? Контрол, копирам, поставям. Не работи. Добре, значи плюс това нещо. Дължината на квадрат на вектор а по дължината на квадрат на вектор b по квадрата на косинуса на ъгъла между тях, е равно на това. А какво ще стане, ако извадим това от двете страни на равенството? Какво ще получим? Получаваме, че квадрата на дължината на векторното произведение на вектор а и вектор b е равно на това минус това. Можем да изнесем извън скоби – ще го напиша ето така. Всъщност ще извадя това над тази черта. Ако извадя това от двете страни, мога да изнеса това тук, и ще поставя минус квадрата на дължината на вектор а по квадрата на дължината на вектор b по косинус на квадрат от ъгъла между тях. Можем да изнесем пред скоби това ||а||^2 ||b||^2, дължините на двата вектора, нали? Ще ги разместя. Това е равно на дължината на квадрат на вектор а по дължината на квадрат на вектор b – това е толкова вълнуващо – когато изнесем извън скоби от тук, просто получаваме 1 минус косинус на квадрат от тита. А колко е 1 минус косинус на квадрат от тита? Това е синус на квадрат от тита плюс косинус... това е най-важното тригонометрично тъждество. Синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита е равно на 1. Така че, ако извадим косинус на квадрат от двете страни, ще получим, че синус на квадрат от тита е равно на 1 минус косинус на квадрат от тита. Така че това е синус на квадрат от тита. А какво ще стане, ако коренуваме двете страни? Това е наистина вълнуващо. Получаваме, че дължината на векторното произведение на векторите а и b (вектор а по (х) вектор b) е равна на дължината на вектор а по дължината на вектор b по синус от ъгъла между тях. Просто коренувах двете страни на това равенство. И накрая получихме нашия резултат. Не мислех, че ще стигна дотук. Надявам се, че си удовлетворен/а. И сега вече никога няма да приемаш това на доверие. Надявам се, че си доволен/а от това. Ще спра да записвам това видео, преди да направя някоя грешка по невнимание или да се изгуби силата на въздействие, което да развали всичко дотук.