Биномно разпределение

Нека дефинираме една случайна променлива "х" като равна на броя "ези" – ще запиша главно Н (от heads - ези) за по-кратко – броя "ези" от хвърляне на обикновена монета. Ще приемем, че това е обикновена монета и ще хвърляме монетата пет пъти. Пет пъти. Като всички случайни променливи и тя има специфични изходи (резултати) и ги превръща в числа. Тази случайна променлива може да приема стойности "х" равно на нула, едно, две, три, четири или пет. Искам да открием каква е вероятността тази случайна променлива да е нула, да е едно, да е две, да е три, да е четири, да е пет. За да направим това, нека помислим какви възможни резултати има от хвърляне на една монета пет пъти. Нека помислим върху това. Нека запишем възможните резултати. Възможните резултати от пет хвърляния. От пет хвърляния. Това не са вероятните резултати за случайната променлива, това буквално са броя възможни резултати (изходи) от хвърляне на една монета пет пъти. Например един възможен резултат може да е "тура, ези, тура, ези, тура". Друг възможен резултат може да е "ези, ези, ези, тура, тура". Това е един от еднакво вероятните резултати, това е друг от еднакво вероятните резултати. Колко такива има? За всяко хвърляне имаш две възможности. Нека запишем това. За първото хвърляне имаш две възможности, по две за второто хвърляне, по две за третото хвърляне. Може би няма да използвам обозначението за "по", можеш да се объркаш със случайната променлива. Две възможности за първото хвърляне, две възможности за второто хвърляне, две възможности за третото хвърляне, две възможности за четвъртото хвърляне, две възможности за петото хвърляне или две на пета еднакво вероятни резултати от хвърляне на монета пет пъти, което е, разбира се, равно на 32. Това ще е полезно, понеже всяка от тези възможни стойности може да бъде приета от случайната променлива. Трябва да помислим колко от тези еднакво вероятни резултати водят до приемане на определената стойност от случайната променлива. Нека се гмурнем в това, за да видим за какво всъщност говорим. Ще направя това в... Ще започна със синьо. Нека помислим за вероятността случайната ни променлива "х" да е равна на едно. Всъщност, нека започна с нула. Вероятността нашата случайна променлива да е равна на нула. Това ще означава, че нямаш нито едно "ези" от пет хвърляния. Има само един начин, само в един от 32-те еднакво вероятни резултата няма да получиш "ези". Това е случаят, при който имаш пет "тура". Това ще е равно на една от 32-те еднакво вероятни възможности. За този случай, за да мислим във връзка с биномни коефициенти и комбинаторика, и такива неща, много по-лесно е просто да го премислим логично, но просто, да мислим по този начин, ще е по-полезно, когато преминаваме към по-високи стойности за случайната ни променлива. Това е надграждане на основата за биномното разпределение, така че можеш да видиш откъде идва името. Нека мислим по този начин. Това е едно ето тук... Един начин да мислиш за това в комбинаториката е, че имаш комбинации от пет елемента и избираш нула от елементите да бъдат "ези". Комбинации от пет елемента нулев клас (записва означението в числителя} (при нас това означение е прието да се записва като "С" с долен индекс "n" и горен индекс "k" ). Нека се уверим, че комбинации от 5 елемента нулев клас са равни на едно. Комбинации от 5 елемента нулев клас. Записвам тук формулата. Комбинации от 5 елемента нулев клас...това е равно на пет факториел върху пет минус нула факториел. Всъщност, върху нула факториел по пет минус нула факториел. По дефиниция, нула факториел е едно, така че това ще е пет факториел върху пет факториел, което ще е равно на едно. Отново, предпочитам да стигнем до това по логически път, вместо на сляпо да прилагаме някоя формула, но просто исках да ти покажа, че тези две идеи са съвместими. Нека продължим. Ще пресметна вероятностите от "х" равно на едно до "х" равно на пет. Ако се вдъхновиш... окуражавам те да се вдъхновиш, опитай да попълниш цялото това нещо... "Каква е вероятността "х" да е равно на едно, две, три, четири или пет?" Нека пресметнем вероятността "х" да е равно на две. Извинявай, "х" да е равно на едно. Вероятността "х" да е равно на едно ще е равна на... Как получаваме едно "ези"? Може първото да е "ези", а после останалите да са "тура". Може второто да е "ези", а останалите да са "тура". Мога да ги запиша всички, но виждаш, че има пет различни места, на които може да има едно "ези". Тоест, пет от 32-та еднакво вероятни резултата включват едно "ези". Нека запиша това. Това ще е равно на пет от 32 еднакво възможни резултата. Което, разбира се, е същото нещо като да кажеш, че имаш комбинации от пет елемента от които един елемент да бъде "ези". Това върху 32. Можеш да потвърдиш, че пет факториел върху едно факториел по пет минус – Всъщност, нека го направя, за да не трябва да вярваш само на думата ми. Комбинациите от пет елемента първи клас са равни на пет факториел върху едно факториел, което е едно, по пет минус едно факториел. Което е равно на пет факториел върху четири факториел, което ще е равно на пет. Напредваме добре. Сега, в лилаво, нека помислим за вероятността случайната ни променлива да е равна на две. Това ще е равно на – ще прибягна до комбинаториката. Имаш комбинации от пет елемента и избираш два от тях да са "ези". Върху 32 еднакво вероятни възможности. Това е броят възможности, които водят до резултат от две "ези". Две от позициите при пет хвърляния са били избрани да са "ези", предполагам можеш да мислиш така, от случайни богове или каквото искаш да кажеш. Това е частта от 32-те еднакво вероятни възможности, така че това е вероятността "х" да е равно на две. Колко ще е това? Ще го реша ето тук. Няма причина да продължавам да променям цветовете. Комбинации от пет елемента втори клас ще е равно на пет факториел върху две факториел по пет минус две факториел. Пет минус две факториел. Това е пет факториел върху две факториел по три факториел. Това ще е равно на пет по четири, по три, по две – мога да запиша и по едно, но това не ни върши никаква работа. После, две факториел ще е просто две. После, три факториел е три по две. Мога да запиша по едно, но, отново, няма смисъл. Това се съкращава с това. Четири делено на две е две. Пет по две е 10. Тоест, това е равно на 10. Това тук е равно на 10/32. 10/32. Очевидно, можем да опростим тази дроб, но предпочитам да я оставя така, понеже сега мислим за всичко в знаменател от 32. Има 1/32 вероятност "х" да е равно на нула, 5/32 вероятност "х" да е равно на едно и 10/32 вероятност "х" да е равно на две. Да продължаваме. Ще продължа в оранжево. Каква е вероятността случайната ни променлива "х" да е равна на три? Това ще е пет, при пет хвърляния, ние трябва да изберем три от тях да са "ези", за да намерим колко от комбинациите включват точно три "ези". Това е върху 32 еднакво вероятни възможности. Това ще е равно на... Комбинации от пет елемента трети клас... ще е равно на пет факториел върху три факториел по пет минус три факториел. Нека запиша това. Пет минус три факториел, което е равно на пет факториел върху три факториел по две факториел. Това е точно онова, което имахме тук горе, като просто обърнахме местата на три и две, така че това ще е равно на 10. Тоест, това също ще е равно на 10/32. Остават още две. Мисля, че ще започнеш да виждаш симетрия тук. Едно, пет, 10, 10, да продължаваме. Да продължаваме и още не съм използвал бяло. Може би ще използвам бяло. Вероятността случайната ни променлива "х" да е равна на четири. При направени пет хвърляния, избираме да се паднат четири "ези". Очевидно не избираме активно. Един начин да си го представиш е, че искаме да намерим вероятностите, които включват при пет хвърляния четири от тях да бъдат избрани за "ези" или четири от тях да са "ези". Това е върху 32 еднакво възможни вероятности. Комбинации от пет елемента четвърти клас...това е равно на пет факториел върху четири факториел по пет минус четири факториел, което е равно на... това ще е просто пет факториел, това ще е едно факториел. Това не променя стойността, просто умножаваш едно факториел по четири факториел, така че това е пет факториел върху четири факториел, което е равно на пет. Това, отново, е 5/32. Можеше логически да го откриеш, понеже, ако казваш, че искаш четири "ези", това означава, че имаш едно "тура". Има пет различни места, на които можеш да поставиш това едно "тура". Има пет възможности с едно "тура". Пет от 32-те еднакво вероятни. После, вероятно можеш да познаеш какво ще получим за "х" равно на пет, понеже, ако имаш пет "ези", това означава, че имаш нула "тура", а ще има само една възможност с нула "тура" от 32-те и тя е, когато имаш само "ези". Нека запишем това. Вероятността... Вероятността случайната ни променлива "х" да е равна на пет. Имаме пет "ези". Можеш да кажеш, че това са пет и избираме пет от тях да са "ези". От 32-те еднакво възможни вероятности... Пет от пет и това ще е равно на... Нека запиша това тук, след като го направих за всички останали. Комбинации от пет елемента пети клас ще е пет факториел върху пет факториел по пет минус пет факториел. Това тук е нула факториел, което е равно на едно, така че всичко това е опростява до едно. Това ще е 1/32. Виждаш симетрията. 1/32, 1/32. 5/32, 5/32; 10/32, 10/32. Това е логично, понеже вероятността да получиш пет "ези" е същата като вероятността да получиш нула "тура", а вероятността да получиш нула "тура" трябва да е същата като вероятността да получиш нула "ези". И ще приключим тук. В следващото видео графически ще представим това и ще видим вероятностното разпределение за тази случайна променлива.