Пример за биномна вероятност

Нека кажем, че знаеш с каква вероятността вкарваш наказателен удар при баскетбола. Вероятността да имаш попадение при наказателен удар, ще го отбележим с "S", за да не са и двете с "М" и да не се объркваш. Нека кажем, че вероятността да имаш попадение при наказателен удар е равна на... да кажем, 70%. Ако искаме да го напишем като процент или можем да го напишем като 0,7, ако искаме да го напишем като десетична дроб. Нека кажем, че вероятността да пропуснем при наказателен удар, като това ще следва точно от това, което току-що написахме – вероятността да пропуснем при наказателен удар ще бъде 100% минус това. Или ще вкараш, или ще пропуснеш, не искам да използвам думата вкараш, защото на английски започва също с буквата М. Това ще бъде 30% вероятност или ако го напишем като десетична дроб, 0,3. 1 минус това е 0,7. Това са само 2 възможности, така че те трябва да имат сбор 100% или да имат сбор 1. Нека кажем, че ще направиш 6 опита. Това, което ни интересува, е вероятността от точно две попадения при 6 опита. Нека помислим колко е това и ти препоръчвам, ако получиш вдъхновение в който и да е момент от това видео, да го спреш на пауза и да се опиташ да намериш самостоятелно това, което търсим. Това е нещото, което искаме да намерим – вероятността да имаме точно 2 попадения при 6 опита. Нека помислим за конкретните начини да получим 2 попадения при 6 опита и да помислим за вероятността за всеки един от тези конкретни начини, и след това можем да помислим по колко начина можем да получим 2 попадения при 6 опита? Например можеш да вкараш първите 2 наказателни удара, тоест можеш да имаш попадение, попадение и след това да пропуснеш при следващите 4. Попадение, попадение и след това пропуск, пропуск, пропуск и пропуск. Каква е вероятността точно това да се случи? Точно това нещо? Имаш 0,7 шанс да вкараш, да имаш попадение при първото хвърляне, след това имаш 0,7 шанс да имаш попадение при второто и след това имаш 0,3 шанс да пропуснеш при следващите 4. Следователно вероятността точно на тази последователност ще бъде това, което записвам в момента. Дано не объркаш знаците за умножение с десетична запетая (точка на английски). Опитвам се да ги пиша малко по-високо. По 0,3 и на колко ще бъде равно това? Това ще бъде равно на... Това ще бъде 0,7 на квадрат по 0,3 на 1, 2, 3, 4 – на 4-та степен. Това ли е единственият начин да имаме 2 попадения при 6 опита? Не, има много начини да имаме 2 попадения при 6 опита. Например може да пропуснеш при първото хвърляне, при първия опит, и след това да вкараш при втория, след това да пропуснеш при третия, и нека кажем, че вкараш при четвъртия опит, като след това пропускаш при следващите два. Пропускаш, пропускаш. Това е друг начин да имаме 2 попадения при 6 опита и каква е вероятността това да се случи? Ще видиш, че ще имаме точно същото, просто ще ги умножим в различен ред. Това ще бъде 0,3 по 0,7... Имаш 30% шанс да пропуснеш при първия опит, 70% шанс да вкараш при втория и след това имаме по 0,3 – 30% шанс да пропуснем при третия, по 70% шанс да вкараме четвъртия, по 30% шанс за всеки от следващите два пропуска. Ако искаш точно това разпределение, това отново ще бъде 0,7 и ако просто смениш реда, по който умножаваш, това ще бъде 0,7 на квадрат по 0,3 на 4-та степен. Следователно при всеки от тези конкретни начини да имаме точно 2 попадения при 6 опита, вероятността ще бъде тази. Вероятността да имаме точно 2 попадения при 6 опита ще бъде всяка от тези вероятности по броя на начините да имаш 2 попадения при 6 опита. Ако имаш 6 опита и избираш при 2 от тях да имаш попадения, колко начина има за това? Можеш да се досетиш, че това е задача от комбинаториката, така че можеш да го напишеш като, да видим как мога да го... Ще направиш 6 опита. Можеш да го напишеш от 6, избираме 2 опита, при които да има попадение. ако искаме да имаме тези обстоятелства. Това ще ни каже броя на различните начини, по които можеш да имаш 2 попадения при 6 опита. Разбира се можем да го напишем, означено с биномен коефициент. Можем да напишем това като избираме 2 от 6 и просто да приложим формулата за комбинации и ако това ти изглежда напълно непознато, ти препоръчвам да потърсиш уроците за комбинации в Кан Академия и след това да разгледаш по-подробно доказването на формулата, в която има доста голям смисъл. Това ще бъде равно на 6 факториел върху 2 факториел по 6 минус 2 факториел. 6 минус 2 факториел. Ще напиша факториела отново със зелено и на какво ще бъде равно това? Това ще бъде равно на 6 по 5, по 4, по 3, по 2 като ще напиша и 1 там, въпреки че не променя стойността, върху 2 по 1; 6 минус 2 е 4, така че това ще бъде 4 факториел, това тук е 4 факториел, така че имаме по 4, по 3, по 2, по 1. Това и това ще се съкратят, а 6, делено на 2, е 3, така че това е 15. Има 15 различни начини, по които можем да получим 2 неща от 6. Предполагам това е единият начин да го кажем. Или има 15 различни начини, по които можеш да избереш 2 неща от 6. Друг начин да го разглеждаме е, че има 15 различни начини да вкараш 2 от общо 6 наказателни удара. Вероятността за всеки от тях е това ето тук. Вероятността да имаме точно 2 попадения при 6 опита, като тук е мястото, където заслужаваме малко аплодисменти. Ще имаме: избираме 2 от 6 по 0,7 на квадрат. Това е 2, ще имаш 2 и след това 0,3 на 4-та степен. Тези непременно ще имат сбор 6. Така че ако това тук беше 3, тогава това тук щеше да бъде 3 и след това щяхме да имаме 6 минус 3 или 3. Колко е тази стойност? Това ще бъде равно на... Имаме 15, 3 по 5, така че имаме това нещо ето тук. Ще имаме 15 по, да видим, в жълтото – 0,7 по 0,7 ще бъде по 0,49. И 3 на 4-та степен ще бъде 81. Но умножавам 4 десетични дроби, всяка от които има 1 цифра след десетичната запетая. Така че ще имам 4 цифри надясно от десетичната запетая или 0,0081. Независимо колко е това число, като всъщност може да използвам калкулатора и да го изчисля, така че ще имаме... Имаме 15 по 0,49, по 0,0081 и получаваме 0,059535. Така че това ще бъде равно на, нека го запиша. Всъщност ми се ще да имам малко повече място тук, но ще го напиша с много плътен цвят. Това ще бъде, всъщност май ми свършиха плътните цветове. Ще го напиша с малко по-светъл цвят. Това ще бъде равно на 0,05935, ако искахме точното число, или можем да кажем, че това е приблизително, ако закръглим до най-близкия процент, това е приблизително 6% шанс, 6% вероятност да имаме точно 2 попадения при 6 опита. Не казах 2 или повече, казах точно 2 попадения при 6 опита. Всъщност това е доста ниска вероятност, защото имам доста висок процент за вкарване на наказателни удари. Ако някой има толкова висок процент при наказателните удари, всъщност е доста невероятно да има само 2 попадения при 6 опита.