Изчисляване на вероятност при дадена крива на плътността

"Разгледай графиката на функцията плътност на случайната величина по-долу." Така, имаме крива на плътността на случайната величина, която описва вероятностното разпределение за непрекъсната случайна променлива. Тази случайна променлива може да приеме стойности от едно до пет и има еднаква вероятност да приеме всяка една от тези стойности от едно до пет. "Намери вероятността "х" да е по-малко от четири." Тоест "х" може да е от едно до четири. Няма вероятност то да е по-малко от числото едно. Знаем, че цялата площ под кривата на плътността е равна на единица. Ако можем да намерим частта от площта, която съответства на критериите ни, тогава ще знаем отговора на въпроса. Ще разгледаме това от едно до четири. Причината да знам, че можем да започнем от едно, е, че няма вероятност, има нулева вероятност, да получа стойност по-малка от едно. Виждаме това от кривата на плътността, така че трябва да помислим каква е тази площ тук. Каква е тази площ тук? Това е правоъгълник с височина 0,25 и ширина от едно, две, три. Нашата площ ще е 0,25 по три, което е равно на 0,75. Вероятността "х" да е по-малко от четири е 0,75 или можеш да кажеш, че има 75% вероятност. Нека направим още едно от тези с малко по-неясна крива на плътността. "Ръстовете на група ученици от едно средно училище са нормално разпределени със средна стойност от 150 сантиметра и стандартно отклонение от 20 сантиметра. Нека Н е ръстът на случайно избран ученик от тази група. Намери и интерпретирай вероятността, че Н, ръстът на случайно избран ученик от тази група, да е по-голям от 170 сантиметра." Нека първо визуализираме кривата на плътността. Това е нормално разпределение. Казват ни, че средната стойност е 150 сантиметра. Нека начертая това. Средната стойност е 150 и също казват, че имаме стандартно отклонение от 20 сантиметра. 20 сантиметра над средната стойност, едно стандартно отклонение над средната стойност, е 170. Едно стандартно отклонение под средната стойност е 130 и искаме вероятността за това, ако случайно изберем един от тези ученици от средното училище, каква е вероятността ръстът да е по-голям от 170? Това ще е тази площ под тази крива на нормално разпределение. Ще е тази площ. Как можем да намерим колко е тя? Има няколко начина за това. Знаем, че това е площта, която е едно стандартно отклонение над средната стойност. Можеш да използваш Z-таблица или можеш да използваш наученото, което е полезно като цяло, за нормалните разпределения и това е, че площта между едно стандартно отклонение под средната стойност и едно стандартно отклонение над средната стойност – тази площ тук – е грубо 68%. По-близо е до 68,2%. За нашите цели 68 ще свърши добра работа и, ако гледаме единствено от средната стойност до едно стандартно отклонение над средната стойност, това ще е половината от това. Това ще е приблизително 34%. Знаем, че за нормално разпределение площта под средната стойност ще е 50%. Знаем, че всичко това е 50%, така че комбинираната площ под 170, под едно стандартно отклонение над средната стойност, ще е 84% или приблизително 84%, като това ни помага да намерим каква е площта над едно стандартно отклонение над средната стойност, което ще отговори на въпроса ни. Цялата площ под тази крива на плътността, под която и да е крива на плътността, ще е едно, така че тази площ е едно. Тази зелена област е 84% или 0,84. После просто изваждаме това от едно, за да получим тази синя площ. Това ще е едно минус 0,84 или това ще е равно на приблизително 0,16. Ако искаш малко по-прецизна стойност, можеш да използваш Z-таблица. Площта под едно стандартно отклонение над средната стойност ще е по-близо до около 84,1%, като в този случай, това ще е около 15,9% или 0,159, но можеш да видиш, че получихме доста близка стойност, просто като знаехме общото правило, че това е грубо 68% между едно стандартно отклонение под средната стойност и едно стандартно отклонение над средната стойност за нормално разпределение.