Условна вероятност с теоремата на Бейс

Нека разгледаме следната история: Боб е в стаята и има две монети. Една симетрична и една двустранна монета. Той избира произволно една, хвърля я, и изкрещява резултата: Ези! Каква е вероятността той да е хвърлил симетричната монета? За да отговорим на този въпрос, трябва да направим дърво на вероятностите. Първото събитие е, че той избира една от две монети. На дървото растат два клона, от които има два наравно вероятни резултата - симетричен и несиметричен. При следващото събитие той хвърля монетата, чертаем отново. Ако той е изтеглил симетричната монета, знаем че при това хвърляне може да са налице два наравно вероятни резултата - ези и тура. Докато при несиметричната монета има два резултата - и двата ези. Дървото ни е готово. И виждаме, че то има четири листа, които представляват четири наравно вероятни резултата. Последната стъпка е едно ново доказателство. Той казва: Ези! Всеки път, когато получаваме някакво доказателство, трябва да построим нашето дърво. Отстраняваме всеки клон, който води към тура, понеже знаем, че страни тура не са се паднали. И това е. Така че вероятността той да е избрал симетричната монета, е единия симетричен резултат, при който се е паднало ези, разделен на трите възможни резултата, при които се е паднало ези или една трета. Какво се случва ако той пак хвърли и съобщи: "Ези!"? Не трябва да забравяме, че нашето дърво расте след всяко едно събитие. Симетричните монети оставят резултат, който се изразява в два наравно вероятни резултата - ези и тура. Несиметричната монета води до два наравно вероятни резултата - ези и ези. След като чуем второто "Ези!", отстраняваме всеки клон, който води към тура. Следователно вероятността монетата да е симетрична, след две страни ези една след друга, е единственият симетричен резултат, при който са налице страни ези, разделен на всички възможни резултати, които водят към ези. Или 1/5. Забележете, че нашата увереност в симетричните монети намалява, ако броят на страните ези се увеличава - макар че осъзнаваме, че той никога няма да достигне 0. Без значение от броя на хвърлянията, никога не можем да сме 100% сигурни, че монетата е несиметрична. Всъщност, всички въпроси, свързани с условна вероятност могат да се разрешат чрез изграждане на дървета. Нека направим още едно, за да сме сигурни. Боб има три монети. Две са симетрични. Една от тях е зависима - при хвърляне тя пада в 2/3 от времето на страна ези и в 1/3 на тура. Той избира произволно монетата и я хвърля. Ези! Сега, каква е вероятността той да е избрал зависимата монета? Нека отново да направим дърво. Първото събитие, избирането на монетата, може да доведе до три наравно вероятни резултата: симетрична монета, симетрична монета и несиметрична монета. При следващото събитие монетата е хвърлена. Всяка симетрична монета води до два наравно вероятни резултата: ези и тура. Зависимата монета води до три наравно вероятни резултата: при два е налице ези, а при един - тура. Тук важното е винаги да сме сигурни, че дървото е балансирано: като това означава, че от всеки клон произлиза равен брой резултати. За да направим това, просто увеличаваме броя на клоните до най-малкия общ множител. За две и три това е шест. И накрая определяме нашите резултати. Симетричната монета се дели на 6 наравно вероятни резултата - три ези и три тура. При зависимата монета имаме две страни тура и четири ези - и това е. Когато Боб каже резултата "Ези!" това ново доказателство ни позволява да подредим всички клони откъм резултат тура, щом такъв резултат не е бил налице. Така че каква е вероятността той да е избрал зависимата монета? Ами от зависимата монета могат да дойдат 4 резултата, делено на всички възможни резултати. 4 делено на 10 или 40%. При съмнения винаги е възможно да отговорим с въпрос за условна вероятност според основната теорема. Така научаваме вероятността за събитие А като ни е дадено някакво ново доказателство В. Макар че, дори и да сме го забравили, не е страшно. Просто трябва само да знаем как да обсъждаме истории с такива дървета.