Въведение в многочлени

Нека разгледаме понятието многочлен или полином. Прилича на много сложна дума, но ако я разбиеш на части, ще започне да добива смисъл, особено когато започнем да виждаме примери за многочлени. В първата част от тази дума, нека я подчертая, имаме "много" или "поли". "Поли" идва от гръцки и означава много. Срещал си "poly" на много места в английския език, отнасящо се до понятието за много от нещо. В този случай това са много членове или "nomials". "Nomial" идва от латински, от латинското "nomen" за име. Можеш да го разглеждаш като много имена. Но в математически контекст то всъщност се отнася до много членове. Ще поговорим след малко за това какво всъщност е член. Но за да добием реална представа какво са полиномите и какво не са, нека ти дам няколко примера. И след това можем да напишем няколко по-официални правила за тях. И така, пример за многочлен или полином може да бъде 10х^7 – 9х^2 + 15х^3 + 9. Това е многочлен (полином). Друг пример за многочлен. 9а^2 – 5. Дори ако имам само едно число, дори ако бях написал само числото 6, това може официално да бъде разглеждано като многочлен. Ако бях написал 7х^2 – 3. Нека използвам друга променлива. 7у^2 – 3у + π, това също ще бъде многочлен. Това са примери за многочлени. Какви примери можем да дадем за неща, които не са многочлени? Ами ако заменя седмата степен ето тук със степен –7. Ако напиша 10x^(–7) – 9х^2 + 15х^3 + 9, това няма да бъде многочлен. Мисля, че може би усещаш някакво правило тук, за това, какво прави нещо да е многочлен. Трябва да имаш неотрицателни степени на променливата във всеки от членовете. Току-що използвах думата членове, така че нека я обясня, защото тя ще ми помогне да обясня какво е многочлен. Многочленът представлява сбор на членове. Например в този първия многочлен: първият член е 10х^7; вторият член е –9х^2; следващият член е 15х^3; и след това последният член, може би можеш да кажеш четвъртият, е 9. Може да видиш нещо. Нека ги подчертая. Всичко това са членове. Това тук е многочлен с четири члена. Може да кажеш: "Но това, което написа с червено, също има 4 члена." Трябва да поставим още няколко правила, за да бъде официално многочлен, особено многочлен с една променлива. Всеки от тези членове ще съдържа коефициент. Това е нещото, което е умножено по променливата на някаква степен. В първия член коефициентът е 10. Нека запиша тази дума, коефициент. Това е още една модерна дума, но тя е просто нещо, което е умножено, в този случай по променливата, която е x^7. Първият коефициент е 10. Следващият коефициент. Всъщност нека внимавам тук, защото вторият коефициент тук е –9. Разглеждаме коефициентите. Третият коефициент тук е 15. Можеш да разглеждаш четвъртия член или това четвърто число като коефициент, защото това може да бъде написано като... Вместо да пишем само 9, може да го напишем като 9х^0. И след това изглежда малко повече като коефициент. Така че многочленът е сбор от краен брой членове, където всеки член има коефициент, който мога да представя с буквата А, който е умножен по променлива, която е повдигната на степен цяло неотрицателно число. Така че това тук е коефициент. Той може да бъде, ако имаме... Добре, не искам да ставам прекалено подробен. Положително, отрицателно число. Може да е всяко реално число. Имаме променливата. И след това степенният показател тук трябва да е неотрицателен. Неотрицателно цяло число. Причината, поради която това, което написах в червено, не е многочлен, е защото тук имам степенен показател, който е отрицателно цяло число. Нека дам още няколко примера за неща, които не са многочлени. И така, ако променя втория член на... вместо 9 на квадрат, ако го бях написал като 9а на степен 1/2 минус 5, това не е многочлен, защото този степенен показател тук вече не е цяло число, той е 1/2. Това е същото като 9 по корен квадратен от а минус 5. Това също няма да бъде многочлен. Или ако бях написал 9а на степен а минус 5, също нямаше да е многочлен, защото тук степенният показател е променлива, той не е неотрицателно цяло число. Всичко това не са примери за многочлени. Има още няколко части от терминологията, които си струва да се знаят. Многочлен е общ термин за един от тези изрази, който има множество членове, определен брой, а не безкраен брой, като всеки от членовете има този вид. Но има по-особени термини, когато имаш само 1 член или 2 члена, или 3 члена. Когато имаш един член, той всъщност се нарича едночлен или моном. Това е едночлен. Това е пример за едночлен, който можем да напишем като х на нулева степен. Друг пример за едночлен може да бъде 10z на степен 15. Това също е едночлен. Коефициентът ти може да е π. Пи. Опа. Може да е π. Така че можем да напишем πb^5. Всеки от тези ще бъде едночлен. А какво е двучлен или бином? При двучлена имаш два члена. Моном, моно за един, един член. Бином е когато имаш два члена. Това тук е двучлен. или бином. Имаш два члена. Всичко това са полиноми, но това са под-класификации. Това е двучлен – имаш 1, 2 члена. Друг пример за двучлен може да бъде 3у^3 + 5у. Още веднъж, имаш два члена, които са в този вид тук. Ще чуеш също и термина тричлен. Тричлен е когато имаш три члена. Тричлен. Това тук е пример за такъв. Това е първият член, това е вторият член, а това е третият член. Сега, следващата дума, която ще чуваш често при работа с многочлени, е понятието степен на многочлена. Може да си чувал хората да казват: "От каква степен е многочленът?", или "Каква е степента на даден член от многочлена?" Нека започнем със степента на даден член. Нека вземем този многочлен тук. Имаме този първи член, 10х^7. Степента е степента, на която повдигаме променливата. Така че това е член от седма степен. Вторият член е от втора степен. Третият член е от трета степен. И можеш да разглеждаш последния член, който е всъщност само 9, можеш да го разглеждаш като, понякога хората го наричат свободен член. Понякога ще кажат член от нулева степен. Ако хората говорят за степента на целия многочлен, ще кажат: "Каква е степента на най-високия член?" "Кой е членът с най-високата степен?" Тази степен ще бъде степента на целия многочлен. Така че този първият многочлен е многочлен от седма степен. Този тук е многочлен от втора степен, защото има член от втора степен и това е членът с най-високата степен. Това тук е от трета степен. Дори може да кажеш двучлен от трета степен, защото членът от най-висока степен е със степен 3. Ако тук имаме 5у^7 вместо 5у, тогава това щеше да бъде двучлен от седма степен. Това тук е едночлен от 15 степен. Това е тричлен от втора степен. Още няколко неща, които ще ти представя, е идеята за водещ член и водещ коефициент. Нека го запиша. Понятието за това, какво означава да бъде водещ. Това може да означава какъв е първият член или коефициентът. Ако казваш водещ член, това е първият член. Ако казваш водещ коефициент, това е коефициентът на първия член. Но често това е свързано с многочлен, написан в нормален вид. Нормален вид. Нормален вид е когато членовете са написани по реда на степените, започвайки с члена с най-висока степен. Така например това, което имам тук горе, не е нормален вид, защото членът от най-високата степен е пръв, но след това трябва да имам следващата по големина, която е х на трета. Но тук съм написал след това х на квадрат, така че това не е нормален вид. Ако исках да го напиша в нормален вид, това щеше да бъде 10х^7, което е членът от най-висока степен, има степен 7. След това 15х^3. Така че имаме + 15х^3, което е следващата най-висока степен. След това –9х^2 е следващият член с най-висока степен. И след това членът с най-ниска степен тук е + 9 или + 9х^0. Сега това е в нормален вид. Написах членовете в низходящ ред според степента, с най-високата степен първа. Тук е ясно, че водещият член е 10х^7, защото е първият и водещият коефициент тук е числото 10. И така, показахме много неща в това видео, но дано понятието многочлен не ти се струва прекалено плашещо на този етап. Като това са наистина полезни думи, с които да се запознаеш, докато продължаваш пътешествието си в света на математиката.