Определяне на граници чрез директно заместване

Да опитаме да намерим границата при х, клонящо към –1, на функцията 6х^2 + 5x – 1. Първото, за което може би се сещаш, е, че този израз може да се представи с графиката на парабола. По този начин не извеждам стабилно доказателство, но параболата ще изглежда по този начин, тази парабола е отворена нагоре. Тази графика изглежда непрекъсната, не виждаме нито сокове, нито прекъсвания. В общия случай, квадратен многочлен като този е определен за всички стойности на х за всички реални числа и е непрекъснат отново за всички реални числа. Ако една функция е непрекъсната за всички реални числа, тогава границата при х, клонящо към някое реално число, ще бъде равна на стойността на самата функция, на този израз за същото реално число. Ще го кажа по друг начин, знаем, че една функция е непрекъсната за някаква стойност на х, например х = а, тогава и само тогава, записвам това като iff, когато границата на f(x) при х, клонящо към а, е равна на f(a). Дотук не направих солидното доказателство, но просто като идея, можем да кажем, че тази функция е стандартна квадратна функция. Тя е определена за всички реални числа и е непрекъсната за всички реални числа. Знаем, че този израз представлява непрекъсната функция, значи границата му при х, клонящо към а, е същото число, което ще получим когато изчислим този израз за а. В този случай а е равно на –1. Значи трябва просто да изчисля израза за –1. Това е 6 по –1 на квадрат плюс 5 по –1 минус 1. Квадратът на –1 е просто 1, това е –5, изразът става 6 – 5 – 1, което е равно на нула. Готови сме.