If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:4:59

Видео транскрипция

Имаме една редица. Тя започва от 1 и след това отива до минус 1/2. След това отива до плюс 1/3. След това отива до минус 1/4. След това до плюс 1/5. Като продължава нататък по същия начин. Като можем да я начертаем. Ще начертая вертикалната ос. Ще начертая оста у. И ще начертая графиката на у е равно на а с индекс n. Нека направим това да е оста х, където ще нанеса всички n. Това тук са n. Това тук е плюс 1. Това тук е минус 1. Това ще бъде минус 1/2. Това ще бъде плюс 1/2. Няма да чертая вертикалната и хоризонталната ос с една и съща скала, за да можем да го визуализираме правилно. Но нека кажем, че това е 1, 2, 3, 4, 5, като мога да продължа нататък и нататък. Тук виждаме, че когато n е равно на 1, а с индекс n е равно на 1. Ето това тук. Когато n е равно на 1, а с индекс n е равно на 1. Това е у е равно на а с индекс n. Когато n е равно на 2, имаме а с индекс n е равно на минус 1/2. Когато n е равно на 2, а с индекс n е равно на минус 1/2. Когато n е равно на 3, а с индекс n е равно на 1/3, което е точно ето там. Когато n е равно на 4, а с индекс n е равно на минус 1/4, което е точно ето там. Тогава, когато n е равно на 5, а с индекс n е равно на плюс 1/5, което е може би ето там. И продължаваме нататък и нататък. Така че виждаш точките, които в известен смисъл подскачат наоколо, но изглежда, че отиват все по-близо и по-близо, и по-близо до 0. Което ще ни накара да отговорим на един много естествен въпрос -- какво се случва с а с индекс n, когато n клони към безкрайност? Или друг начин да го кажем, каква е границата -- ще го напиша с друг цвят -- на а с индекс n, когато n клони към безкрайност? Нека помислим, дали можем да определим чрез явно задаване, колко е а с индекс n. Дали можем да зададем редицата явно. Можем да определим тази редица като а с индекс n, където n започва от 1 и отива до безкрайност при а с индекс n равно -- на колко е равно? Ако игнорираме знака за секунда, изглежда, че то е 1 върху n. Но изглежда, че имаме колебание в знаците. Започваме с положително, след това имаме отрицателно, положително, отрицателно. Така че можем да умножим това по минус 1 -- да видим. Ако го умножим по минус 1 на степен n, тогава това ще бъде минус, а това ще бъде плюс. Но ние не искаме да е по този начин. Искаме първият член да бъде положителен. Така че казваме минус 1 на степен n плюс 1. Като можеш да провериш, че това върши работа. Когато n е равно на 1, имаш 1 по минус 1 на квадрат, което е просто 1 и ще върши работа при всички останали членове. Можем да напишем това като равно на минус 1 на степен n плюс 1, върху n. Ако питам, каква е границата на а с индекс n, когато n клони към безкрайност, това е еквивалентно на въпроса, на колко е равна границата на минус 1 на степен n плюс 1, върху n, когато n клони към безкрайност? Не забравяй, че а с индекс n е просто функция от n. Това е функция, при която сме ограничени ето тук до положителните цели числа като дефиниционно множество. Но това също е просто граница, когато нещо клони към безкрайност. Все още не съм я определил строго, но можеш да обобщиш какво се случва тук. Когато n клони към безкрайност, числителят ще се колебае между плюс и минус 1, но този знаменател просто ще става все по-голямо и по-голям, и по-голям, и по-голям. Така че ще получаваме наистина, наистина, наистина, наистина малки числа. Така че това тук ще клони към 0. Все още не съм го доказал. Просто твърдя, че това е вярно. Но ако това е вярно -- нека го запиша. Ако е вярно, ако границата от а с индекс n, когато n клони към безкрайност, е 0, тогава можем да кажем, че а с индекс n се сходява към 0. Това е друг начин да кажем това тук. Ако не е така, ако границата, когато n клони към безкрайност, не отива към някоя стойност тук -- като не съм определил строго, как определяме една граница -- но ако това не беше вярно, ако не можем да установим някаква граница -- като няма нужда тя да е равна на 0. Ако това не беше равно на някакво число, тогава можем да кажем, че а с индекс n е разходяща.