Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 3

Урок 4: Теореми, отнасящи се до свойства на триъгълници

Свойства на еднаквостта

Научи как да прилагаш рефлексивното свойство, транзитивното свойство и свойствата на симетрията в геометрични доказателства. Научи каква е връзката между равните мерки и еднаквите фигури.

Има различни начини за записване на геометричните доказателства и някои от тях са по-формални. При формалните доказателства обосноваваме твърдения, които може и да изглеждат очевидни. Причината за това е, че някои от тези твърдения са валидни само при някои видове релации. Това, което важи за релацията равенство, не е задължително да важи за релацията неравенство, например.

Да разгледаме някои от тези свойства. Със символа

★

ще обозначаваме произволна релация.

Рефлексивно свойство / Рефлексивност

Когато дадена релация

★

притежава свойството рефлексивност, това означава, че тази релация винаги важи за даден обект и самия него. Например

A ★ A

Може ли да видим примери за подобни релации?

Релация	Символи	Пример
Равенство	$=$ ‍	$- 5 \frac{3}{8} = - 5 \frac{3}{8}$ ‍
Еднаквост	$≅$ ‍	$∠ M N P ≅ ∠ M N P$ ‍
Подобие	$\sim$ ‍	$△ M N P \sim △ M N P$ ‍

Рефлексивното свойство използваме много често, когато разглеждаме фигури, които имат общи страни или ъгли.

Ако търсим релацията между триъгълниците

△ M N Q

△ P N Q

, може да използваме твърдението, че

\overset{―}{N Q} ≅ \overset{―}{N Q}

въз основа на рефлексивното свойство.

Кои релации не притежават свойството рефлексивност?

Строгите неравенства не притежават свойството рефлексивност. Например

3 ≮ 3

Да бъдеш майка не е рефлексивно свойство. Никой не е майка сам на себе си.

Свойството симетричност

Когато една релация

★

притежава свойството симетричност, това означава, че когато две неща са свързани с такава релация, то тя е вярна и в двете посоки. Ако

A ★ B

, тогава и

B ★ A

Може ли да видим примери за подобни релации?

Релация	Символи	Примери
Равенство	$=$ ‍	Ако $8 = 11 - 3$ ‍, тогава $11 - 3 = 8$ ‍.
Еднаквост	$≅$ ‍	Ако $\overset{―}{V W} ≅ \overset{―}{X Y}$ ‍, тогава $\overset{―}{X Y} ≅ \overset{―}{V W}$ ‍.
Подобие	$\sim$ ‍	Ако $A B C D \sim L M N P$ ‍, тогава $L M N P \sim A B C D$ ‍.
Успоредност	$∥$ ‍	Ако е вярно $m ∥$ ‍ $n$ ‍, тогава е вярно и $n ∥$ ‍ $m$ ‍.
Перпендикулярност	$⊥$ ‍	Ако $\vec{S T} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{U V}$ ‍, тогава $\overset{\leftrightarrow}{U V} ⊥ \vec{S T}$ ‍.

Според повечето хора приятелството е релация, която притежава свойството симетричност. Ако Алън е приятел на Колтън, то и Колтън е приятел на Алън.

Кои релации не притежават свойството рефлексивност?

Строгите неравенства не притежават свойството симетричност. Например

10 < 100

, но

100 ≮ 10

Да бъдеш майка на някого също не е симетрична релация. Ако Карън е майка на Сантино, то Сантино не е майка на Карън.

Транзитивно свойство

Когато една релация

★

притежава свойството транзитивност, то два обекта, които са свързани с трети среден обект, също са свързани един с друг. Ако

A ★ B

B ★ C

, тогава

A ★ C

Може ли да видим примери за подобни релации?

Релация	Символи	Пример
Равенство	$=$ ‍	Ако $m ∠ F = m ∠ G$ ‍ и $m ∠ G = m ∠ H$ ‍, тогава $m ∠ F = m ∠ H$ ‍.
Еднаквост	$≅$ ‍	Ако $△ R S T ≅ △ W X Y$ ‍ и $△ W X Y ≅ △ F G H$ ‍, тогава $△ R S T ≅ △ F G H$ ‍.
Подобие	$\sim$ ‍	Ако окръжност $A \sim$ ‍ окръжност $B$ ‍ и окръжност $B \sim$ ‍ окръжност $D$ ‍, тогава окръжност $A \sim$ ‍ окръжност $D$ ‍.
Успоредност	$∥$ ‍	If $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{L M}$ ‍ и $\overset{―}{L M} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍, тогава $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍.

Кои релации не притежават свойството рефлексивност?

Свойството перпендикулярност не е транзитивно.

На чертежа

\overset{―}{A B} ⊥ \overset{―}{A C}

\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{C D}

, но

\overset{―}{A B}

е успоредна, а не перпендикулярна на

\overset{―}{C D}

Приятелството също не е транзитивно. Ако Езекил е приятел на Ромина, а Ромина е приятелка на Наш, не знаем дали Езекил е приятел на Наш.

Сравнение между равенство и еднаквост

Равенството и еднаквостта са много подобни, но все пак се различават. Използваме релацията равенство за нещата, които можем да изразим с числа, включително размери, мащабиращи коефициенти и пропорционални части.

Величина	Пример
Мерки на ъгли	$m ∠ A + m ∠ B = 90 °$ ‍
Дължини на отсечки	$M N = P Q = 5$ ‍
Площ	Площ на $D E F G = 81 {cm}^{2}$ ‍
Отношение	$\frac{3}{4} = \frac{J K}{K L}$ ‍

Релациите еднаквост и подобие използваме при геометричните фигури. Не можем да извършваме операции като събиране и изваждане на геометрични фигури.

Геометрична фигура	Пример
Ъгъл	$∠ A ≅ ∠ C$ ‍
Отсечка	$\overset{―}{M N} ≅ \overset{―}{P Q}$ ‍
Многоъгълник	$△ D E F \sim △ G H I$ ‍
Окръжност	Всички окръжности са подобни на всички други окръжности.

Съществуват три много полезни теореми, които дават връзката между равенство и еднаквост.

Два ъгъла са еднакви тогава и само тогава, когато имат равни мерки.
Две отсечки са еднакви тогава и само тогава, когато имат еднакви дължини.
Два триъгълника са еднакви тогава и само тогава, когато всичките им съответни ъгли и страни са равни помежду си.

На следния чертеж ни е дадено, че

A B = C D = 3, 2

В едно формално доказателство на отделен ред ще запишем твърдението, че

\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{C D}

. В по-неформалните доказателства използваме взаимозаменяемо изразите "равни размери" и "еднакви елементи". Попитай учителя си кое от двете е за предпочитане да използваш!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.