Решен пример: дължина на дъга

Това е графиката на функцията у равно на х на степен 3/2. Искам да намерим дължината на тази равнинна крива, от х = 0 до х е равно на... ще избера някое странно число, с което обаче се работи лесно, до х = 32/9. 32/9 е равно на 3 и 5/9, което е някъде тук. Това е 3 и 1/2, значи ще е малко след него, след 3 и 1/2, някъде тук. Ще намерим дължината на тази крива ето тук, това, което съм оцветил в жълто. От 0 до 32/9. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Предполагам, че опита. Ако в някакъв момент, докато аз решавам, те връхлети вдъхновение, винаги можеш отново да спреш видеото и да продължиш да работиш самостоятелно. Сега да използваме формулата за дължина на крива, която един вид концептуално доказахме в предходното видео. Знаем, че дължината на кривата е равна на определен интеграл от 0 до 32/9 от корен квадратен... Всъщност първо ще запиша общия случай, за да можем да видим формулата и приложението ѝ. Значи квадратен корен от 1 +( f'(x))^2, dx. В този случай това ще бъде определен интеграл от 0 до 32/9 от квадратен корен от 1 плюс... Колко е производната? Ако f(x) = х^(3/2), то тогава f'(х) е равно на 3/2 х^(1/2). Избрах точно тази функция, защото тя се опростява много добре, когато е под корена, и много лесно се намира примитивната функция. Свършихме доста неща по тази задача, за да може числата да са подходящи, така че да продължим. Значи това е f'(х), f' от х на квадрат ще бъде този израз на квадрат. Ще бъде 9/4х на степен 1/2 на квадрат, което е х. Значи 1 + 9/4х, dх. И сега имаме определен интеграл, който знаем как да решим. Може би можеш да го направиш наум, това е просто едно интегриране със заместване. да кажем, че имаме 1 + 9/4х. Производната е 9/4. Мога да го променя, но вместо това направо ще се захвана със заместването. Нека u = 1 + (9/4)х, тогава... да видим. Du/dx ще е равно на 9/4. Значи du = (9/4)dx. Или можем да кажем, че dx... Ще превъртя малко надолу. dx е равно на... Ще умножа двете страни по 4/9. Получаваме (4/9)du. И сега само трябва да променим границите на интегриране. Когато х = 0, тогава u е равно на 9/4 по нула е нула, така че u е равно на 1. Когато х е равно на 32/9... Затова избрах това число – на колко ще е равно u? 32/9 по 9/4 е равно на 32/4, което е равно на 8 плюс 1. Това стана много елегантно, както виждаш. И имаме това. Това е равно на определен интеграл... Всъщност нека да поясня, че това е равно на това. Определен интеграл от u = 1, до u = 9... Искам да е ясно, че сега работим с u... от квадратен корен от u. И вместо dx, имаме dx е (4/9)du. Ще го направя така: квадратен корен от... Опа, това не е правилния цвят. Квадратен корен от u; вместо dx имаме (4/9)du. И аз ще взема това 4/9 и ще го сложа ето тук. Знаем как да приложим фундаменталната, втората фундаментална теорема на анализа, за да решим този определен интеграл. Това е 4/9 по примитивната функция от квадратен корен от u, което е равно на u на степен 1/2. Става u на степен 3/2 и после делим на 3/2, което е същото като да умножим по 2/3. Сега ще изчислим от u е равно на 9 до u = 1. И сме почти на финалната права. Това ще бъде равно на 4/9 по 2/3 по 9 на степен 3/2 минус 2/3 по 1 на степен 3/2. 9 на степен 3/2 е равно... Да видим – квадратен корен от 9 е 3, 3 на трета степен е 27. Това е 1. Значи остана 2/3 от... Всъщност можем да изнесем пред скоби 2/3, за улеснение. Това е равно на 2/3 по 4/9 и е равно на 8/27. Изнесохме отпред 2/3. После имаме 27 минус 1 в скобите, вътре в тези квадратни скоби. 27 – 1 е равно на 26. По 26. Очевидно можем да опростим още малко, ако искаме. 8 по 26 е равно на... Всъщност нека го сметнем, просто за забавление. 8 по 26 е равно на 160, плюс 8 по 6 е 48, значи това е 208/27. И сме готови.