If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: дължина на дъга

Прецизно конструиран пример, демонстриращ как се използва формулата за дължина на дъга.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Това е графиката на функцията у равно на х на степен 3/2. Искам да намерим дължината на тази равнинна крива, от х = 0 до х е равно на... ще избера някое странно число, с което обаче се работи лесно, до х = 32/9. 32/9 е равно на 3 и 5/9, което е някъде тук. Това е 3 и 1/2, значи ще е малко след него, след 3 и 1/2, някъде тук. Ще намерим дължината на тази крива ето тук, това, което съм оцветил в жълто. От 0 до 32/9. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Предполагам, че опита. Ако в някакъв момент, докато аз решавам, те връхлети вдъхновение, винаги можеш отново да спреш видеото и да продължиш да работиш самостоятелно. Сега да използваме формулата за дължина на крива, която един вид концептуално доказахме в предходното видео. Знаем, че дължината на кривата е равна на определен интеграл от 0 до 32/9 от корен квадратен... Всъщност първо ще запиша общия случай, за да можем да видим формулата и приложението ѝ. Значи квадратен корен от 1 +( f'(x))^2, dx. В този случай това ще бъде определен интеграл от 0 до 32/9 от квадратен корен от 1 плюс... Колко е производната? Ако f(x) = х^(3/2), то тогава f'(х) е равно на 3/2 х^(1/2). Избрах точно тази функция, защото тя се опростява много добре, когато е под корена, и много лесно се намира примитивната функция. Свършихме доста неща по тази задача, за да може числата да са подходящи, така че да продължим. Значи това е f'(х), f' от х на квадрат ще бъде този израз на квадрат. Ще бъде 9/4х на степен 1/2 на квадрат, което е х. Значи 1 + 9/4х, dх. И сега имаме определен интеграл, който знаем как да решим. Може би можеш да го направиш наум, това е просто едно интегриране със заместване. да кажем, че имаме 1 + 9/4х. Производната е 9/4. Мога да го променя, но вместо това направо ще се захвана със заместването. Нека u = 1 + (9/4)х, тогава... да видим. Du/dx ще е равно на 9/4. Значи du = (9/4)dx. Или можем да кажем, че dx... Ще превъртя малко надолу. dx е равно на... Ще умножа двете страни по 4/9. Получаваме (4/9)du. И сега само трябва да променим границите на интегриране. Когато х = 0, тогава u е равно на 9/4 по нула е нула, така че u е равно на 1. Когато х е равно на 32/9... Затова избрах това число – на колко ще е равно u? 32/9 по 9/4 е равно на 32/4, което е равно на 8 плюс 1. Това стана много елегантно, както виждаш. И имаме това. Това е равно на определен интеграл... Всъщност нека да поясня, че това е равно на това. Определен интеграл от u = 1, до u = 9... Искам да е ясно, че сега работим с u... от квадратен корен от u. И вместо dx, имаме dx е (4/9)du. Ще го направя така: квадратен корен от... Опа, това не е правилния цвят. Квадратен корен от u; вместо dx имаме (4/9)du. И аз ще взема това 4/9 и ще го сложа ето тук. Знаем как да приложим фундаменталната, втората фундаментална теорема на анализа, за да решим този определен интеграл. Това е 4/9 по примитивната функция от квадратен корен от u, което е равно на u на степен 1/2. Става u на степен 3/2 и после делим на 3/2, което е същото като да умножим по 2/3. Сега ще изчислим от u е равно на 9 до u = 1. И сме почти на финалната права. Това ще бъде равно на 4/9 по 2/3 по 9 на степен 3/2 минус 2/3 по 1 на степен 3/2. 9 на степен 3/2 е равно... Да видим – квадратен корен от 9 е 3, 3 на трета степен е 27. Това е 1. Значи остана 2/3 от... Всъщност можем да изнесем пред скоби 2/3, за улеснение. Това е равно на 2/3 по 4/9 и е равно на 8/27. Изнесохме отпред 2/3. После имаме 27 минус 1 в скобите, вътре в тези квадратни скоби. 27 – 1 е равно на 26. По 26. Очевидно можем да опростим още малко, ако искаме. 8 по 26 е равно на... Всъщност нека го сметнем, просто за забавление. 8 по 26 е равно на 160, плюс 8 по 6 е 48, значи това е 208/27. И сме готови.