Примери за линейна трансформация: Мащабиране и осева симетрия

Говорихме доста за линейните трансформации. В това видео сега искам, всъщност и в следващите няколко видеа, искам да покажа как могат да се конструират линейни трансформации, така че да трансформират векторите по начина, по който искаме. Вече знаем, че ако имаме някаква линейна трансформация Т, и тя изобразява от Rn в Rm, тогава можем да представим Т – това, което Т прави с произволен вектор х или изобразяването на Т(х) от Rn в Rm – можем да представим това като някаква матрица по вектор х, където това е матрица с размери m по n. Знаем, че винаги можем да конструираме такава матрица, че произволна линейна трансформация може да се представи като матрица по този начин. Можем да я представим, като вземем нашата единична матрица, виждали сме го и преди, с n реда и n стълба, която изглежда ето така. Значи това е 1, а после имаме n –1 на брой нули навсякъде надолу. После имаме 0, 1 и всичко останало са нули надолу. Значи на практика има единици само по диагонала. Това е матрица n по n. Всичко останало са нули, ето така. Взимаш единичната матрица и прилагаш трансформацията към всеки от стълбовете ѝ. Наричаме тези стълбове стандартен базис на Rn. Значи този стълб е е1, този стълб е е2, и така имаме n стълба. еn. Всеки от тези стълбове принадлежи на Rn, понеже това е матрица с n реда и n стълба. Знаем, че нашата матрица А може да се представи като трансформация, която е извършена спрямо всеки от тези стълбове. Значи трансформацията на е1 и трансформация на е2, и така нататък, и стигаме до трансформация на en. Това е наистина полезно нещо да се знае, защото се работи много лесно с трансформацията на всеки от тези базисни вектори, които съдържат 1 само на съответното измерение, или по отношение на съответната променлива, а всичко останало е 0. Всичко това беше преговор. Сега да използваме тази информация, за да конструираме някои интересни трансформации. Да започнем с някакво множество в нашето Rn. Всъщност аз ще работя само в R2, но ти можеш да го пренесеш към всякакви общи размери. Но сега ще работим в R2. Очевидно ще имаме само 2 измерения. Да кажем, че имаме триъгълник, получен от точките – да кажем, че първата точка е ето тук. Нека да е точката (3;2). После да кажем, че следващата точка на триъгълника е точката – ще я направя точката (–3;2). Не трябваше да го пиша като дроб. Не знам защо го направих. (3;2). После имаме точката (–3;2). Това е тази точка ето тук. [–3;2]. Сега да кажем, просто за забавление, да кажем, че имаме тази точка, или вектор – позиционен вектор, нали? [3; –2]. Това е ето тук. Всеки от тези позиционни вектори – мога да ги начертая. Мога да начертая този [3;2] в стандартна позиция, като начертая стрелка, ето така. Мога да направя [–3;2] в стандартната му позиция, ето по този начин. И [3; –2] ще начертая ето така. Но повече от позиционните вектори всъщност ме интересуват позициите, които те определят. Знаем, че ако вземем множеството от всички позиции, или всички позиционни вектори, които определят триъгълника, който е определен чрез свързването на тези точки. Трансформацията на това множество – сега ще приложим някаква трансформация към това – по същество можем да трансформираме всяка крайна точка и после да свържем новите точки в същия ред. Видяхме го преди няколко урока. Но хайде да създадем една трансформация. Да кажем, че искам – нека просто да запиша с думи какво искам да се случи с това, което имаме в нашето множество на първообразите (първоначално множество). Да кажем, че искаме да направим осева симетрия спрямо оста х. Осева симетрия – всъщност нека да е спрямо оста у. Искаме да го обърнем настрани. Искаме да обърнем триъгълника ето така. Представям си нещо, което ще изглежда като нещо подобно, когато го обърнем. Значи осева симетрия спрямо оста у. Да кажем, че искам да го разтегнем по у двойно. По посока у да го удвоим. Това, което си представям – ще го обърнем ето така. .. Както го начертах тук. После искам да го разтегнем – значи първо ще го обърнем. Това е първата стъпка. После втората стъпка е да го разтегнем. Вместо да изглежда така, ще бъде два пъти по-висок, значи ще изглежда ето така. Не е задължително да го разтягаме по х. Как ще стане това? Първото нещо е осевата симетрия спрямо оста у, нали? Значи искаме тази точка, координатата х беше –3, а искаме координатата у да остане същата. Тук искаме отново да остане 2. Наричам у втората координата от наредената двойка. Мога да я нарека координатата х2, но сме свикнали това да е у-координата, когато чертаем. Така че ще продължа да я наричам координатата у. Искаме това –3 да стане плюс 3. Защото искаме тази точка да дойде тук. Искаме това +3 да стане –3 ето тук. Искаме това +3 за координатата х да стане –3 ето тук. Досещаш се, че просто сменяме знака. При осева симетрия спрямо оста у, това е все едно да сменим знака на координатата х. Значи това твърдение тук е равнозначно да умножим –1 по координатата х. Нека го наречем това по х1. Защото това е х1. И сега да разтеглим в посока у. Какво означава това? Това означава, че всяка височина, която имаме тук – в следващата стъпка всяка височина, която имаме – искаме да стане 2 пъти по-голяма. Значи тази координата тук е (3;2). Ако я нямаше първата стъпка тук, щях да искам да стане (3;4). Искам да удвоя координатата у. Следващото нещо, което искам да направя, е да умножа по 2 – ще я наричам просто координатата у. Това е малко по-различно от това, което аз използвам, но аз просто наричам тези вектори – вместо да ги наричам х1, х2, аз казвам, че моите вектори в R2 – първият компонент наричам член х или х елемент, а вторият елемент означавам като у елемент. Но това е същият принцип, който използвахме и преди. Просто използвам този начин на записване, защото сме свикнали с осите х и у, за разлика от осите х1 е х2. Как ще конструираме трансформацията? Искам да го запиша на езика на трансформацията. Мога да кажа, че... Мога да дефинирам трансформацията като Т от някакъв вектор х. Ще го напиша по този начин. Т от някакъв вектор [х;у] ще бъде равна на – искам да умножа –1 по х, за да получа минус х. Искам да умножа у по 2. Ето така мога да запиша тази трансформация по подходящия начин, и това е много разбираемо. Но как да създам матрицата за това? Това, което трябва да направя, е просто да взема – тук сме в R2. Значи ще започна с единичната матрица в R2, която е просто [1;0;0;1]. Прилагам тази трансформация към всеки стълб на тази единична матрица. Ако приложа трансформацията към първия стълб, какво ще получа? Ще получим една нова матрица А. Тя е равна на трансформацията на – ще го запиша по следния начин – трансформацията на [1;0]. Това ще е новият ни стълб, просто ще трансформираме този стълб. Вторият стълб ще бъде трансформацията на този стълб. Значи това е трансформацията на [0;1]. Ето така. На какво е равно това? Трансформацията на [1;0] – ще я напиша тук в зелено. На какво е равно А? Каква е трансформацията на [1;0], където х е 1? Просто умножаваме х члена по минус 1, така че става –1. После умножаваме по 2 члена у. Това е 2 по 0, значи 0. Сега вторият член. –1 по 0 е просто 0. Това остава 0. После умножаваме 2 по члена у. 2 по у ще бъде 2 по 1, което е равно на 2. Сега можем да опишем тази трансформация – можем да кажем, че трансформацията на някакъв вектор [х;у], можем да я опишем като произведение на матрица с вектор. Това е равно на [–1;0;0;2] по нашия вектор. По вектор [х;у]. Сега да проверим дали това работи. Да видим дали нашата матрица работи. Тази първа точка – като ще използвам различни цветове, да видим тази първа точка ето тук. Това е (–3;2). Ще го направя ето тук. Ще изглежда ето така. Колко е [–1;0;0;2] по [–3;2]? Това е просто произведение на вектор с матрица. Минус 1 по –3 е плюс 3, плюс 0 по 2. Значи плюс 0. Това е 3. После 0 по –3 е 0. Плюс 2 по 2. Това става (3;4). Тази точка ето тук сега ще бъде точката (3;4). Става ето тази точка. Да видим тази точка тук, точката (3;2). Взимаме матрицата на трансформацията, [–1;0;0;2] по [3;2]. Това е равно на –1 по 3, което е –3, плюс 0 по 2. Значи това е –3. После 0 по 3, което е 0. Плюс 2 по 2, което е 4. И получаваме тази точка. Тази точка, при нашата трансформация Т става точката (–3;4). Аз малко превключих терминологията. Казах, че става, но трябва да се каже, че се изобразява, ако искаме да използваме терминологията, която въведохме по отношение на функции и трансформации. Тази точка се изобразява в тази точка в R2. И накрая да видим тази точка тук, използваме матрицата на трансформацията, която съставихме. Да умножим [–1;0;0;2] по тази точка ето тук, тя е (3; –2). Това е равно на –1 по 3, което е –3. После 0 по –2, това е 0. Значи това става –3. После 0 по 3 е 0. 2 по –2 е –4. Значи (–3; –4). Тази точка тук стана (–3; –4). Стана тази точка ето тук. Знаем, че множеството в R2, което свързва тези точки, при същата трансформация, ще бъде изобразено в множество в R3, което свързва тези точки. Вече сме виждали това. Мисля, че беше преди три урока. Значи образът на това множество, който начертах тук, този триъгълник, е просто множество от точки, които са определени от множество вектори. Образът на това множество от позиционни вектори определя тези точки ето тук. Определя тези точки, които чертая тук. Да видим дали го правя правилно. Ето така, готово. И ето така се случи точно това, което искахме. Обърнахме триъгълника, така че мина от тази страна. Ето така. После го разтегнахме. Разтегнахме го в посока у. Виждаме, че го удължихме с коефициент 2. Първо го обърнахме, а после го удължихме с коефициент 2. Всяка от тези операции може да бъде извършена... имам предвид, че винаги можем да се върнем в началото. Винаги можеш да кажеш: "Мога да запиша трансформацията в този вид, после мога просто да я приложа към базисните вектори или към стълбовете в моята единична матрица." Общата идея е, че всяка от тези трансформации, които просто мащабират или по посока х, или по посока у, и когато... да, можеш да кажеш, че мащабират. Могат да свият или да разпънат по посока х или по посока у. Или могат да обърнат фигурата спрямо оста у, като създадат симетричен образ. Това са диагонални матрици. Защо това са диагонални матрици? Защото имат ненулеви членове само по диагоналите си. В този случай това е 2 на 2. Но ако е 3 на 3, тогава ще има нули навсякъде, освен по диагонала. И това е много логично, защото този първият член всъщност е това, което се случва с члена х1. Вторият член е това, което се случва с х2 члена. Или члена у в нашия пример. Ако имам няколко члена, ако това беше матрица 3 на 3, това щеше да е какво се случва с третия член. Следващият член щеше да е какво се случва в четвъртото измерение. И можем да приложим тази идея за произволно Rn. Целта на това видео беше да те запозная с идеята за създаване на трансформации по избор. Мисля, че вече започваш да разбираш, че това може да е много полезно, ако искаш – особено при компютърното програмиране – ако искаш да създадеш някаква графика или някаква игра в много измерения.