Разстояние и средна точка между комплексни числа

Имаме две комплексни числа. Числото z, равно на 2 + 3i, и числото w, равно на –5 – i. В това видео искам най-напред да ги начертая в комплексната равнина и после да намеря разстоянието между тези две числа в равнината, също и комплексното число, което е точно по средата между тях, числото, което се намира точно по средата между тях. Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да помислиш самостоятелно. Най-напред да начертаем числата в комплексната равнина. Това е имагинерната ос, начертах я тук, а това е реалната ос. Първо ще помисля как ще разположа числата. По реалната ос имам стойности от 2 до –5: отмервам 5 единици надясно и 5 единици наляво. По имагинерната ос имам най-много +3 и най-малко –1. Отмервам по 3 единици нагоре и надолу, и ще разграфя и малко нагоре, макар и да не използвам тази част на равнината. Сега да начертаем двете числа. Реалната част на z е 2 и имаме 3i, значи имагинерната му част е 3. Стигаме до тази точка. Тя е с координати (2;3), 2 + 3i. Тази точка е числото z. Сега да начертаем числото w. Реалната му част е –5. То има –i, това отговаря на имагинерна част –1. Числото w е в точката (–5;–1). Нека първо помислим за разстоянието между тези две комплексни числа в комплексната равнина. Можеш да си го представиш като дължината на тази отсечка тук. Можем да я изчислим чрез питагоровата теорема. Формулата за разстояние в двумерна система е директно приложение на питагоровата теорема, но да помислим за това. Промяната по реалната ос е това разстояние тук, тя показва колко единици разлика имат двете числа по реалната ос. Като се движим от w към z, се придвижваме по реалната ос от –5 до 2. Колко е 2 минус –5? Това е 7: имаме 5 единици да достигнем нулата по реалната ос и после още 2. Дължината на червената отсечка е 7. Колко е дължината на другия катет на триъгълника? По имагинерната ос се придвижваме от –1 до 3, това прави разстояние от 4 единици. Сега можем да приложим питагоровата теорема. Това е правоъгълен триъгълник и търсеното разстояние е равно на хипотенузата му. Да я обозначим с х: х на квадрат е равно на 7 на квадрат + 4 на квадрат, това е просто питагоровата теорема. Нашето х е равно на корен квадратен от 49 плюс 16. Ще го разпиша, за да не пропускам стъпки. Колко е 49 + 16? Това е 65: имам 49 плюс 10 плюс още 6. Х е равно на корен квадратен от 65. Можем да разложим 65 на прости множители. Но в него няма точни квадрати, то е 13 по 5 и можем да го оставим така. Х е разстоянието между тези две комплексни числа на комплексната равнина и е равно на корен от 65, което е малко повече от 8. Сега да потърсим комплексното число, което се намира по средата между тези две. Това е число, което има реална част между тези две реални части и имагинерна част между тези две имагинерни части. Това също ще е комплексно число, нека го наречем а, неговата реална част е средното на тези две числа: то е 2 плюс –5, делено на две. Имагинерната му част е средното на тези две числа: 3 и –1. Тя е 3 – 1 делено на 2. Имам и i. Това е равно на 2 плюс –5 е –3, значи реална част –3/2, а това е 3 – 1 върху 2 за имагинерната част, нека проверя отново, 3 и –1 прави 2, върху 2, това е числото 1. Числото между тези две е –3/2 + i. Ще потвърдим дали е логично като го начертаем. Реалната му част е –3/2: това е минус 1 и още половин единица, това е тук. Плюс един път по i, числото е тук. Трябва да съм напълно точен в мащаба, но това изглежда добре като средна точка.