Графики на рационални функции: вертикална асимптота

Казват ни: "Нека f(х) е равно на g(х) върху (х^2 - х - 6), където g(х) е полином. Коя от следните е възможна графика на у = f(х)?" И ни дават четири варианта. Четвъртият вариант е точно ето тук. Както винаги, спри видеото и виж дали можеш да решиш това или ако имаш проблем с това, когато започна да мисля върху задачата заедно с теб, спри го по което и да е време, ако усетиш вдъхновение. Много е важно да опиташ да се ангажираш със задачата, вместо просто да ме гледаш как я решавам. Но нека започнем да решаваме това заедно. Това е интересно. Не ни дават много информация за f(х). Всъщност не знаем какъв е числителят. Знаем само, че е полином. Това донякъде е полезно. Но ни дават знаменателя, така че можем да помислим какви са интересните числа, които са интересните х стойности за знаменателя. В частност кои стойности на х ще направят знаменателя равен на 0? За да направим това, можем да разложим знаменателя. Да видим, коефициентът на члена от първа степен е -1. Можем да запишем -1 там, ако искаме. И константата е -6. Ако искаме да разложим това, можем да кажем: "Произведението на кои две числа е -6 и сборът им е -1?" -3 по 2 е -6. И -3 + 2 е равно на -1. Така че мога да преобразувам f(х). Мога да кажа, че f(х) е равно на g(х) върху (х минус 3 по (х + 2)). Знаменателят е равен на 0 при х = 3 или х = -2. Тогава знаменателят е 0. Знаменател 0. Ще го запиша така. Нещо прави знаменателя равен на 0. Това ни казва, че или ще имаме вертикална асимптота при тази точка, или ще имаме отстранимо прекъсване при тази точка. И начинът, по който това би било точка на отстранимо прекъсване, да кажем, ако това беше при х = 3, това означава, че g(х) може да бъде разложено на (х - 3) по много други неща. Ако това беше случаят, х = 3 щеше да е точка на отстранимо прекъсване. Ако х = 3 не прави g(х) равно на 0. Например ако g(3) не е равно на 0 или g(-2) не е равно на 0, тогава и двете ще са вертикални асимптоти. Нека разгледаме вариантите тук. Вариант А – имаме една вертикална асимптота. Тази вертикална асимптота е при х = -2. Нека начертая тази права тук. Тази вертикална асимптота тук – това е правата х = -2. Изглежда е съвместимо с това тук, но какво да кажем за х = 3? Това изглежда супер. Тази графика е дефинирана при х = 3. х = 3 е ето тук и изглежда е дефинирана там. f(х) определено не е дефинирана при х = 3, понеже когато х е равно на 3, знаменателят е 0, а на 0 не се дели. Въпреки че това има една вертикална асимптота на интересно място, ще го изключим, понеже тази графика е дефинирана при х = 3, въпреки че f(х) не е. Трябва да видим или вертикална асимтота там, или точка на отстранимо прекъсване. Тук имаме вертикална асимптота при х = -2 и имаме друга вертикална асимптота при х = 4. Това също не е логично. Това, точно както последното, е дефинирано при х = 3. Когато х е равно на 3, функцията е равна на 0. Но функцията f(3) не е равна на 0. f(3) не е дефинирана. Делим на 0. Така че можем да изключим това. Отново, при х = 3 трябва да видим точка на отстранимо прекъсване или вертикална асимптота, понеже функцията там не е дефинирана. Нека видим вариант С. Виждаме вертикална асимптота при х = -2. Това изглежда доста добре. Виждаме точка на отстранимо прекъсване при х = 3. Тази функция не е дефинирана за х = 3 и за х = -2, което е добре, понеже f не е дефинирана при нито една от тези точки, понеже при която и да е тези стойности на х знаменателят на f е равен на 0. Това изглежда доста интересно. Това може да съвпадне. Това ще съвпадне с f(х), когато f(х) е нещо от рода... вече знаем знаменателя. (х - 3)(х + 2). И в числителя ще имаме, след като (х - 3) не е вертикална – след като х = 3 не е вертикална асимптота, това е точка на отстранимо прекъсване и трябва да можем да разложим, за тази графика, g(х) на (х - 3) по нещо друго. Това съвпада с това ето тук. Мисля, че този вариант е правилен. Нека погледнем вариант D. Вариант D има две вертикални асимптоти. Една при х = -1. Това е -2, следователно това е х = -1. И това х = 6. Нито едно от тях няма да съвпадне с това, което прави знаменателя ни равен на 0, така че можем да изключим и това. Така че можем да сме сигурни във вариант С.