Математично махало

Тежестите, окачени на пружина, са най-често срещаният пример за прости хармонични осцилатори. Следващият най-често срещан пример е махалото. За това искам да говоря в това видео. Едно махало е просто тяло, с маса m, свързано с нишка с дължина, L, което можеш да дръпнеш на определено разстояние и после да го пуснеш да се люлее. То ще се люлее напред и назад, То трепти точно като прост хармоничен осцилатор и затова го изучаваме, когато учим за прости хармонични осцилатори. Технически казано, това всъщност е просто махало, понеже това е просто тяло с дадена маса, свързано с една нишка. Не е сложно. Може да имаш по-сложни примери. Да кажем, че свържеш друга нишка с друга маса тук долу. Това става много сложно. Но е готино. И ако не знаеш за това, потърси двойно махало, доста е интересно. Но е много сложно да го опишем математически. Затова няма да се занимаваме с него. Имаме да изучаваме достатъчно неща, когато изучаваме простите махала. Можем да научим доста за движението, просто като разгледаме този случай. Какво имаме предвид под това, че махалото е прост хармоничен осцилатор? Имаме предвид, че има еластична сила, пропорционална на отклонението, и имаме предвид, че неговото движение може да бъде описано от уравнението за прост хармоничен осцилатор. Ако помниш, това беше описано от уравнение, което изглеждаше ето така – някаква променлива х е функция на времето и е равна на някаква амплитуда по косинус или синус, просто ще запиша косинус, от 2π, делено на периода по времето и, ако искаш, можеш да добавиш константа на фазата. Няма да я запиша, понеже обикновено можеш и да не я използваш. Това е уравнението за прост хармоничен осцилатор. Как ще приложа това уравнение към случая с махалото? Ами, няма да използвам х. Далеч по-полезният и по-често срещан пример за използване на променлива за описване на едно махало е ъгълът, под който е махалото. Вземи предвид факта, че тази маса ще е под различни ъгли в различни моменти във времето. Започва ето тук, може би е 30 градуса, и после се люлее и е само на 20 градуса и после на 10, и после на 0, понеже измерваме ъглите от централната права. И после се люлее през – може би е при -10, -20, -30 и после целият този процес се повтаря. Вместо да използваме х, ще използваме тита. Това ще е ъгъл като функция на времето. Ще запиша – тита, като функция на времето, ще е равна на някаква амплитуда, но отново – тъй като измервам тита, амплитудата ми няма да е разстояние в х или отместване в х, това няма да е максималното нормално отместване, това тук ще е максималното ъглово отместване от точката равновесие. Тази права тук ще е равновесието, понеже ако поставиш масата тук и я оставиш да си стои, тя просто ще продължи да си стои тук, защото резултантната (сумарната) сила върху тялото е нула. Когато отместиш тялото от тази позиция на равновесие, тя ще има ли еластична сила? Това ще е максимумът, просто ще го нарека тита максимум, понеже това е максималното ъглово отместване, когато дръпнеш това назад – максималният ъгъл, за който го дърпаш, какъвто и да е той. Може би е 30 градуса, може би е 20 градуса – това ще е ъгълът, който ще въведа тук. И после ще умножим по косинус и той ще има същия аргумент тук. 2π върху какъвто е периодът, а периодът е времето, което е нужно на това махало, за да се нулира, или да завърши един цял цикъл, и винаги трябва да умножим по t, това е нашата променлива, именно тя прави това функция – това е функция на времето. Сега трябва да призная нещо. Технически казано, простото махало не е перфектен прост хармоничен осцилатор, а само е много близо до това да бъде прост хармоничен осцилатор. Всъщност за малки ъгли несъвпадението ще бъде малко, например по-малко от 1 процент. Поради това, често третираме едно просто махало като прост хармоничен осцилатор, но технически казано, това работи добре, само ако отклонението е по-малко от, да кажем, 20 градуса. Когато стигнеш до по-големи максимални амплитуди, това ще се различава все повече и повече. Все още ще е сравнително близко, може би с около 20 процента, но е много близко само за малки ъгли. Ако работиш с махало, отклонено на малък ъгъл, например 20 градуса или по-малко, това махало ще бъде описано доста добре от това уравнение, понеже ще е много близко до това да е прост хармоничен осцилатор. Нека приемем, че сме на приблизително такива малки ъгли, където тази амплитуда е малка. Какво можем да кажем? Един въпрос, който можем да зададем, е от какво ще зависи периодът на това махало. Този период тук – какво можем да променим, което ще промени този период тук? От какво може да зависи това? Първото ми предположение може да е, че може би зависи от масата. Нека помислим за това. Ако увеличим масата на това махало, мислиш ли, че това ще увеличи периода или ще намали периода, или няма да го промени? Някои хора може да кажат: "Мисля, че едно увеличение в масата ще увеличи инертността на тази система. Да, това ще се движи по-трудно. Когато масата на нещо се увеличи, това нещо по-трудно се ускорява, по-трудно се движи и е по-трудно да промениш посоката му. Това означава, че трябва да е нужно повече време за завършване на един цикъл. Може би това означава, че периодът трябва да се увеличи, понеже времето ще се увеличи." Но други хора може да кажат: "Чакай малко, ако увеличим масата, това ще увеличи гравитационната сила. Сега гравитацията ще дърпа по-силно тази маса надолу и гравитацията е силата, която ще възстанови тази маса обратно до равновесие." Гравитацията ще дърпа надолу и ако дърпа надолу с по-голяма сила, може да помислиш, че тази маса ще се люлее с по-голяма скорост, а ако има по-голяма скорост, ще завърши този цикъл за по-малко време, понеже се движи по-бързо. А щом като е нужно по-малко време, може да помислиш, че периодът намалява, но тези два ефекта се неутрализират напълно. Фактът, че тялото с по-голяма маса ще има по-голяма инертност, означава, че е по-трудно да се движи, и силата ще се увеличи, поради увеличаването на силата на гравитацията. Тези се неутрализират напълно и тази маса няма да засегне периода. Оказва се – това е странно – че промяната в масата тук не засяга периода, през който това нещо се люлее напред-назад. Представи си това. Ако се качиш на една люлка в парка и се люлееш назад-напред, а после едно малко дете, 5-годишно, се качи и се люлее назад-напред, то трябва да има същия период на движение като теб, понеже масата в края тук не засяга периода. Това е малко странно, но е вярно и трябва да помниш това. Масата не засяга периода. А какво засяга периода? Просто ще запиша формулата. Няма да я извеждам. Извличането изисква висша математика. Ако знаеш висша математика, трябва да го погледнеш. Но просто в случай, че не разбираш висша математика, просто ще запиша това, ще те преведа през това уравнение. Ще ти покажа защо е логично и се надявам, че ще видиш логиката защо променливите тук са такива каквито са. Първата променлива е L. L отива отгоре, дължината на нишката. А после ускорението поради гравитацията, малко g, отива отдолу. Защо това е формулата? 2π е просто константа, получаваш квадратен корен. L е отгоре, това означава, че ако увеличиш дължината на нишката ще получиш по-голям период. Увеличаването на дължината трябва да увеличи периода. Защо е това? Помисли за това. Една маса на нишка, която се върти назад-напред, ако има въртене, една величина, за която е полезно да помислим, е инерчният момент. Инерчният момент на това тяло с тази маса, окачено на нишка ще е равен на – това е материална точка, която се върти около ос, оста на въртене е тази точка тук. И една материална точка с маса m, която се върти около постоянна ос, има инерчен момент mr^2. Но това r е разстоянието от оста до масата, така че това е просто mL^2. Това е инерчният момент. Погледни, ако увеличим дължината, увеличаваме инерчния момент. По-голямо L ни дава по-голям инерчен момент. Какво означава това? Инерчният момент е мярка за това колко е трудно ъглово да ускориш нещо. Това е мярка за това колко трудно ще е ъгловата скорост на тази маса да бъде променена. По-голям инерчен момент означава, че ще е по-трудно да вземеш тази маса и да я въртиш назад-напред, и да промениш посоката ѝ. Тъй като е по-трудно да придвижим тази маса, ще е нужно по-дълго време, за да я движим напред-назад. Затова по-голяма дължина означава по-голям инерчен момент, а по-голям инерчен момент означава, че е нужно по-дълго време за придвижване на това нещо – ето защо периодът става по-голям. Някои хора може да възразят. Ако използваш ума си, може да кажеш: "Чакай малко, ако тази дължина се увеличи, нещото, което кара това да ускори ъглово, е въртящият момент, а аз знам формулата за въртящ момент. Формулата за въртящ момент изглежда ето така. Въртящият момент е rf по синус от тита. И r е разстоянието от оста до точката, в която е приложена силата. Тъй като въртящият момент, в случая, се дължи гравитацията, това r също ще е това L. Ще премине от оста до точката, в която е приложена гравитацията, така че ще имам L по силата на гравитацията по синус от тита." Може да кажеш: "Виж, ако дължината се увеличи, стойността на въртящия момент също ще се увеличи. Тоест ще имам по-голям въртящ момент, който се опитва да задвижи това нещо, имам също и повече инертност, така че е по-трудно да движим това нещо. Неутрализират ли се тези, както много от тези други неща се неутрализират?" Не, не се. Виж, този въртящ момент ще се увеличи, но ще се увеличи само с L, пропорционално е само на L. Този инерчен момент е пропорционален на L^2. Ако удвоиш дължината става четири пъти по-трудно да движиш масата, но единствено удвояваш способността на този въртящ момент да движи масата. Това означава, че ще е нужно повече време за преминаване през един цял цикъл и този период ще се увеличи. Този по-голям въртящ момент няма да компенсира факта, че е по-трудно да движим тази маса, тъй като има повече инертност при въртенето на тази маса. Ето защо увеличаването на дължината увеличава периода. Но защо увеличаването на g, гравитационното ускорение, намалява периода? Помисли, ако увелича гравитационното ускорение, отнасям това махало на някаква планета, която е изключително плътна или масивна, и дърпа надолу с голяма гравитационна сила... По-голямо g означава по-голяма гравитационна сила, която дърпа тази маса надолу, а това ми дава по-голяма еластична сила. По-голяма сила означава, че това ще дърпа масата по-бързо, ще има по-голямо ускорение, а това означава, че големината на скоростта ще бъде по-голяма, това ще се движи по-бързо назад-напред. А ако се движи по-бързо, ще е нужно по-малко време да завършим един цикъл. Ето защо увеличаването на гравитационното ускорение увеличава силата и намалява периода. Ако си наясно с въртящия момент, ако знаеш за въртящия момент, увеличаваш силата, която увеличава въртящия момент, което ще увеличи ъгловото ускорение и на това ще му е нужно по-малко време да се движи назад-напред. Затова периодът намалява, ако увеличиш гравитационното ускорение. Ако използваш ума си, ще си кажеш: "Чакай малко. Това е точно като формулата за масата на пружина. Ако вземеш периода от маса на пружина, той беше 2π, корен квадратен, нещо върху нещо, и членът отгоре за масата на пружина беше масата, която беше свързана с пружината, а членът отдолу беше константата на пружината." Може да кажеш: "Чакай, това е същата идея. Увеличаването на масата просто увеличава инертността на тази система. Ето защо е нужно по-дълго време за преминаване през един цикъл. Точно както тук. Увеличаването на дължината увеличава инертността, поне инерчния момент на тази система, така че е нужно повече време за преминаване през един цикъл." И може да кажеш: "Увеличаването на стойността на k, това е увеличаване на силата върху системата и ако увеличиш силата върху системата, системата ще има по-голямо ускорение, с по-големи скорости и ще отнеме по-малко време за преминаване през един период Затова тази константа на силата k за пружината е отдолу, точно както това g. Увеличаването на g увеличава силата върху системата, което ти дава по-голямо ускорение, по-големи скорости – ще е нужно по-малко време за преминаване през един период." Тези формули са много подобни и са напълно аналогични. Има инерчен член отгоре, член за силата отдолу и двете засягат периода по същия начин. Трябва да забележиш още едно нещо – амплитудата не влияе на периода на масата на пружина. И амплитудата, това тита максимум, също няма да засегне периода на едно махало, стига амплитудите да са малки. Ще приемем, че сме в област с малка амплитуда, при която тази маса на нишка действа като прост хармоничен осцилатор. И ако това е вярно, за малки ъгли амплитудата не влияе на периода на едно махало, точно както амплитудата не влияе на периода на една маса на нишка. Нека ти кажа едно последно нещо. Това просто махало действа като прост хармоничен осцилатор само за малки ъгли. И това означава, че тази формула за периода на едно махало е вярна само за малки ъгли. Но колко малки трябва да са ъглите? За да ти дам представа, да кажем тита максимум, амплитудата за това колко назад дърпаш това махало, за да го задвижиш, е, да кажем, по-малко от 20 градуса. Ако го дръпнеш назад с по-малко от 20 градуса, величината, с която тази формула ще се различава от реалния период на махалото, ще е по-малко от 1%. Доста близо е до това да е прост хармоничен осцилатор. И да кажем, че тита максимум беше по-малко от 40 градуса, все още ще се различава с по-малко от 3%. Стойността, която получаваш от това уравнение, се различава от реалната стойност само с 3%. И да кажем, че тита максимум беше по-малко от 70 градуса, стигаш чак до 70 градуса – грешката все още ще е по-малка от 10%. Не чак толкова добре, но все пак не е толкова лошо. Тази формула ти дава периода на махалото. Работи доста добре за малки ъгли. Когато ъгълът на отклонение става по-голям стойността, която получаваш от тази формула, ще се различава от реалната стойност все повече и повече. Да обобщим, за малки ъгли, тоест малки амплитуди, можеш да третираш едно махало като прост хармоничен осцилатор. А ако амплитудата е малка, можеш да намериш периода на едно махало, като използваш 2π, корен квадратен от (L върху g), където L е дължината на нишката, а g е гравитационното ускорение на мястото, където махалото се люлее.