Стъпка 3: Начертай прави, успоредни на a и b (в изпълнение на питагоровото доказателство)

Етап 1: Построяване на квадрати на всяка страна на триъгълника

Етап 2: Избери как да направиш построението от целия чертеж

След построяване на първоначалните прави, можеш да решиш да добавиш дори още прави, които са успоредни на страните на розовия и синия квадрат, представящи $a^2$‍ и $b^2$‍. Нашата последна надежда е да направим нещо със самите квадрати, така че нека направим тези прави да минават през ъглите на квадратите в диаграмата.

За да изчистим нещата, нека дадем на всички тези прави подстрижка.

Сега е добър момент да спрем и да видим дали сборовете, които направихме, ни дават нещо интересно, тъй като белите прави образуват хубав и симетричен правоъгълник.

Принцип на доказателствата: Търси симетрия, тя е твой приятел.

След вглеждане в картинката за известно време, може да забележиш, че жълтият квадрат, представящ $c^2$‍, е заобиколен сега от четири копия на първоначалния правоъгълен триъгълник:

В действителност всички тези триъгълници изглеждат точно като копия на първоначалния правоъгълен триъгълник. Как можем да докажем, че те наистина са такива?

Те определено са правоъгълни триъгълници, тъй като според начина, по който ги построихме, белите прави се намират перпендикулярни една на друга. Хипотенузите на всички тези триъгълници са с дължина $c$‍, тъй като лежат върху страните на жълтия квадрат.

Всичко, което трябва да направим, е да проверим дали поне един от другите ъгли или дължини на страните във всеки триъгълник съвпадат с тези в първоначалния триъгълник. За да направим това, нека разгледаме по-отблизо върха на единия от тези триъгълници.

Добре, време е да започнем означаването на ъглите в нашия триъгълник. Нека кажем, че ъгълът срещу страната с дължина $a$‍ в първоначалния триъгълник е $\alpha$‍.

Помни, че сборът от всички ъгли в един правоъгълен триъгълник е ${180}^{\circ }$‍, а това е правоъгълен триъгълник. Това означава, че ъгълът срещу страната с дължина $b$‍ трябва да бъде ${180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$‍.

Разглеждайки отново точката, на която обърнахме внимание, това означава, че левият ъгъл е ${90}^{\circ }-\alpha$‍. Ъгълът между двете жълти прави е ${90}^{\circ }$‍, тъй като идва от квадрат. Надяваме се, че третият ъгъл отдясно е $\alpha$‍, тъй като това ще докаже, че триъгълникът, към който този малък ъгъл принадлежи, е наистина копие на първоначалния триъгълник.

Но този ъгъл трябва да бъде $\alpha$‍, тъй като всичките три ъгъла стоят на една права, така че те трябва да имат сбор от ${180}^{\circ }$‍. Следователно (важно е да използваме думата "следователно" често, когато доказваме нещата, за да звучи по-правдоподобно), десния триъгълник, към който принадлежи този малък ъгъл, е идентичен на първоначалния правоъгълен триъгълник.

По идентични причини (както, когато завъртяхме около квадрата $c$‍), другите триъгълници, които подчертахме по-горе, са също еднакви с първоначалния. В действителност, чертаейки още няколко прави, можем да намерим още 6 копия на първоначалния триъгълник, вътре в големия правоъгълник, който начертахме с белите прави.

Вероятно виждаш нещо интересно, което да направим с тази информация. Ако е така, това е чудесно! Определено трябва да се опиташ да го използваш, преди да продължиш тук.

Според този пътеводител в джунглата, има само един път, който искаме да минем изцяло: Намери лицето на големия правоъгълник