Стъпка 3: Прибави още триъгълници (в изпълнение на питагоровото доказателство)

Етап 1: Построяване на квадрати към всеки катет на триъгълника

Етап 2: Избери как да направиш построение от целия чертеж

Може би, само може би, прибавянето на това друго копие на правоъгълния триъгълник, те вдъхновява да прибавиш още, като в пъзел. Целта е да свържем $a^2$‍ и $b^2$‍ to $c^2$‍, така че това което целим, е начин по който да виждаме всичките три квадрата, като част от едно свързано цяло.

Можеш да започнеш, прибавяйки един от дясната страна на малкия син квадрат $a^2$‍, така че да се придвижи в посоката на квадрата $c^2$‍.

...което води до още няколко добри места, където триъгълниците могат да съвпаднат...

И накрая, попълваш отгоре.

Това изглежда добро място да спрем, тъй като имаме нещо симетрично. По-конкретно, изглежда че всичките ни фигури образуват един голям правоъгълник.

Принцип на доказателствата: Търси симетрия, тя е твой приятел.

Обаче, трябва да проверим, дали това наистина е правоъгълник! От къде знаем, че всичките части съвпадат просто така и не оставят никакви дупки или странни издатини?

Да вземем един пример, от къде знаем, че страните на триъгълника, намиращи се по ръбовете на големия триъгълник, всъщност са на една права? Нека приближим върху точка, където две такива прави се срещат.

Това определено изглежда като розовата права отгоре и синята права отдолу, всяка на една права с другата, но как можем да докажем това без никакво съмнение? Ами знаем, че трябва да използваме факта, че триъгълника е правоъгълен, и сега дойде времето.

Нека означим ъглите в нашия правоъгълен триъгълник. Нека $\alpha$‍ бъде за ъгъла срещу страната с дължина $a$‍.

Тъй като трите ъгъла трябва да имат сбор ${180}^{\circ }$‍ и ъгълът срещу хипотенузата е ${90}^{\circ }$‍, третият ъгъл трябва да бъде

Прилагането на това към точката, която приближихме по-горе...

...виждаме, че сборът от трите ъгъла в диаграмата е $({90}^{\circ }-\alpha )+{90}^{\circ }+\alpha ={180}^{\circ }$‍. Тъй като това е ${180}^{\circ }$‍, синята и розовата права лежат на отделна вертикална права.

Като упражнение, провери диаграмата сам, за да видиш, дали има някакви други проблемни точки. Например, защо горният ляв ъгъл е непременно прав ъгъл?

Добре, сега имаме този голям правоъгълник, който съдържа нашите три първоначални квадрата, вътре в себе си. Какво можем да направим с това?

Можеш, разбира се, да продължиш както искаш. Търсейки наоколо различни свойства на този правоъгълник, виж дали можеш да намериш нещо интересно. За този пътеводител в джунглата предлагаме един определен път, който може да бъде атрактивен: Намери лицето на големия правоъгълник