Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Приложение на основните закони

Решаваме пример с електрическа верига, като директно прилагаме основните закони: закон на Ом и закон на Кирхоф за определяне на токовете и напреженията във веригата. Създадено от Уили Макалистър

Въведение

Разгледахме няколко примера за директно прилагане на закона на Ом, когато извеждахме уравнения за последователно и успоредно свързани резистори, делител на напрежението и опростяване на мрежа от резистори. Сега ще разгледаме пример, в който използваме и законите на Кирхоф. Наричаме това приложение на фундаменталните закони.

Задача: Намери неизвестните токове и напрежения в тази верига.

Стъпките към решението включват съставяне и решаване на система от независими уравнения:

Отбележи напреженията и токовете, като използваш конвенцията за знаците на пасивни компоненти.
Избери независимата променлива – или $i$ ‍, или $v$ ‍, така че да получиш възможно най-прости уравнения.
Състави уравненията, като използваш законите на Кирхоф за тока и за напрежението, или и двата. Увери се, че всеки елемент е представен в поне едно уравнение.
Реши системата от уравнения.
Намери всяко оставащо неизвестно напрежение и ток, които искаш да знаеш.

Първа стъпка: Постави означения върху схемата

За начало помага да означим напреженията, токовете и възлите и да направим списък на това, което знаем, и което не знаем.

Характеристики на веригата и неизвестни:

$5$ ‍ елемента
$3$ ‍ възела, отбелязани $a$ ‍, $b$ ‍ и $c$ ‍.
Възел в една електрическа схема наричаме мястото, в което се свързват $2$ ‍ или повече елемента.
Тъй като линиите на схемата представят перфектни проводници с нулево съпротивление, възелът не е нужно да бъде начертан като едноточково кръстовище. Можем да нарисуваме възела с разклоняващи се жици и точки. Това се нарича разпределен възел. Възел $a$ ‍ е място на свързване на два елемента (източника на напрежение и резистора от $20 Ω$ ‍). Възли $b$ ‍ и $c$ ‍ са разпределени възли.
Определения и повече примери за възли и разпределени възли могат да бъдат открити тук.
$3$ ‍ прости затворени контура (вътрешни контури).
Затворен контур е всеки затворен път през елементите на веригата.
Прост затворен контур е контур, в който няма други контури. Определения и примери за затворени контури и прости затворени контури могат да се намерят тук.
$1$ ‍ източник на напрежение, $v_{S}$ ‍, и $2$ ‍ напрежения на елементите, $v_{1}$ ‍ и $v_{2}$ ‍.
$1$ ‍ източник на ток, $i_{S}$ ‍, и $3$ ‍ токове на елементите, $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ и $i_{3}$ ‍.

Когато определяме полярността на напрежението и тока на всеки елемент, използваме конвенцията за знаците на пасивни компоненти : Стрелката на тока сочи към края с положително напрежение на всеки резистор.

За да подчертаем, че имаме само три възела в тази верига, тя е прерисувана тук, за да подчертаем свързванията при възли

b

c

(Тук има очевидна възможност да опростим двата успоредни резистора,

6 Ω

5 Ω

. Няма да направим това, понеже искаме да проучим общата процедура за анализ.)

Стъпка 2. Избери независимата променлива

В този момент трябва да направим избор. Дали независимата променлива да е напрежението

v

, или токът

i

? Един добър начин да направим този избор е да сравним броя неизвестни напрежения с неизвестните токове. Има

2

неизвестни напрежения и

3

неизвестни тока. Ако изберем напрежението като независимата променлива, ще имаме уравнения с

2

члена за напрежението, вместо с

3

члена за тока.

2

е по-просто, така че избираме напрежението да бъде независимата променлива за тази задача.

Трета стъпка: Запиши независимите уравнения

Тъй като имаме две независими напрежения, ни трябват две независими уравнения, за да ги намерим. Нашият избор ще е уравнение на Кирхоф за напрежението около най-левия прост затворен контур и уравнение на Кирхоф за тока при възел

b

. Защо избираме точно това? Избрахме двете най-интересни характеристики на веригата. Възел

b

има няколко различни връзки, което го прави интересна фокусна точка за веригата, а най-левият прост затворен контур включва всички оставащи елементи на веригата, които не са напълно контролирани от възел

b

. Признавам, че използвах част от собствения си опит в електрониката, за да предвидя посоката, в която ще поеме анализът. Като направиш повече подобни задачи, ти също ще си изградиш интуиция.

Закон на Кирхоф за напрежението около най-левия прост затворен контур

Най-левият прост затворен контур е този с оранжевата окръжност.

Започваме в долния ляв ъгъл на веригата, където виждаш символа за заземяване, и вървим по часовниковата стрелка около простия затворен контур, събирайки уравненията. Законът на Кирхоф за напрежението ни казва, че сборът от напреженията на елементите около един затворен контур трябва да е нула.

+ v_{S} - v_{1} - v_{2} = 0

+ 140 - v_{1} - v_{2} = 0

Отрицателните знаци на

v_{1}

v_{2}

се дължат на това, че срещаме първо техните

+

знаци по пътя си по часовниковата стрелка около затворения контур, което означава, че ще видим пад на напрежението, докато минаваме през компонента.

Закон на Кирхоф за тока при възел $b$ ‍

Ще получим второто уравнение, като запишем закона на Кирхоф за тока при възел

b

. Една от формулировките на закона на Кирхоф за тока гласи, че токовете, които влизат в един възел, трябва да са равни на токовете, които излизат от възела.

Събираме токовете, които постъпват във възел

b

и ги поставяме да са равни на сбора от токовете, изтичащи навън.

i_{1} + i_{S} = i_{2} + i_{3}

По-рано в стъпка 2 решихме да използваме

v_{1}

v_{2}

като независими променливи, така че използваме закона на Ом, за да изразим неизвестните токове чрез напрежение и съпротивление.

\frac{v_{1}}{20 Ω} + 18 = \frac{v_{2}}{6 Ω} + \frac{v_{2}}{5 Ω}

След малко пренареждане получаваме система от две уравнения с две неизвестни:

v_{1} + v_{2} = 140

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) v_{2} = - 18

Тези две уравнения улавят всичко, което става в нашата верига.

Това е добър момент да направим бърза проверка. Всеки елемент от веригата получи ли шанс да участва в поне едно уравнение? Има ли някой пропуснат? Провери за всички

5

елемента.

Стъпка 4 и 5 – Решаване

Опитай се да решиш тази система от уравнения самостоятелно, преди да погледнеш пълния отговор по-долу.

Намери неизвестните напрежения $v_{1}$ ‍ и $v_{2}$ ‍ и неизвестните токове $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ и $i_{3}$ ‍.

v_{1} =

V

v_{2} =

V

i_{1} =

A

i_{2} =

A

i_{3} =

A

Четвърта стъпка. Реши системата от уравнения

Ще използвам чиста алгебра. Тази система от уравнения може да бъде решена също така и чрез техники от линейната алгебра, например чрез правилото на Крамър.

Елиминирай

v_{2}

, като решиш първото уравнение за

v_{2}

v_{2} = 140 - v_{1}

После замести

v_{2}

във второто уравнение:

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) (140 - v_{1}) = - 18

Намери

v_{1}

,
(Пренасям числата като дроби, за да няма закръгляне.)

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{5}{30} + \frac{6}{30}) (140 - v_{1}) = - 18

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{11}{30}) 140 + (\frac{11}{30}) v_{1} = - 18

Постави всички

v_{1}

вляво, а константите вдясно:

\frac{1}{20} v_{1} + \frac{11}{30} v_{1} = (\frac{11}{30}) 140 - 18

И разбий алгебрата:

(\frac{3}{60} + \frac{22}{60}) v_{1} = \frac{11 \cdot 140}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1540}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1000}{30}

v_{1} = \frac{60}{25} \cdot \frac{1000}{30}

v_{1} = 80 V

Едно напрежение е намерено, остава едно:

v_{2} = 140 - v_{1}

v_{2} = 140 - 80

v_{2} = 60 V

И двете напрежения са намерени. Сега можем да потърсим неизвестните токове, като използваме закона на Ом.

Стъпка 5. Намери другите неизвестни

i = \frac{v}{R}

закон на Ом

i_{1} = \frac{v_{1}}{20} = \frac{80}{20} i_{1} = 4 A

i_{2} = \frac{v_{2}}{6} = \frac{60}{6} i_{2} = 10 A

i_{3} = \frac{v_{2}}{5} = \frac{60}{5} i_{3} = 12 A

Готово! Решената верига изглежда така:

Обобщение

Решихме веригата чрез директно приложение на фундаменталните закони. Инструментите ни бяха законът на Ом и законите на Кирхоф.

Стъпките на решаване:

Отбележи напреженията и токовете, като използваш конвенцията за знаците на пасивни компоненти.
Избери независимата променлива – или $i$ ‍, или $v$ ‍, за да съставиш най-простите уравнения. Избери променливата, за която има най-малък брой неизвестни.
Състави уравнения, като използваш закона на Кирхоф за тока, закона на Кирхоф за напрежението или и двата. Увери се, че всеки елемент е представен в поне едно уравнение.
Реши системата от уравнения за независимите променливи (в този случай, $v_{1}$ ‍ $v_{1}$ ‍ и $v_{2}$ ‍).
Намери другите неизвестни.
‍

Подходът ни за решаването на тази верига беше солидно основан на фундаменталните закони и получихме правилния отговор. Но изборът ни на уравнения беше донякъде произволен. След това ще говорим за два ефикасни и добре организирани метода за решаване на всяка верига – методът за възловото напрежение и методът за тока в прост затворен контур.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)