Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Суперпозиция (наслагване)

Използването на принципа на суперпозицията може да опрости анализа на ел. вериги с множество входове. Написано от Уили МакАлистър.

Суперпозицията е супер полезна техника, която да добавиш към методите си за анализ на вериги. Използвай суперпозиция, когато имаш верига с множество входящи източници или множество източници на захранване.

Основни идеи

Принципът на суперпозицията е друго име за адитивното свойство на принципа на линейност:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

За да анализираме една верига, като използваме суперпозиция, първата стъпка е да изключим или потиснем всички източници, освен един.

За да подтиснем източник на напрежение, го заменяме с верига накъсо.
За да подтиснем източник на ток, го заменяме с отворена верига.

После анализираш получаващите се по-прости вериги. Повтаряш за всички източници.

Крайният резултат е сборът от отделните резултати.

Описване на верига като функция

Принципът на суперпозицията се дефинира чрез обозначението за функции, така че тук ще разгледаме как веригите могат да бъдат представени като функции.

Започваме просто... Как можем да представим единичен резистор, като използваме начина за записване на математическа функция? Тук няма нищо специално, просто ще разгледаме закона на Ом с използване на терминология за функции. Започваме, като идентифицираме три неща: входящите параметри, функционалната зависимост и изходящите параметри.

Определяме (произволно), че напрежението

v_{i}

ще е входната стойност за нашата резисторна функция. Можем да приемем, че входната стойност

v_{i}

е генерирана от нещо, създаващо напрежение, което не показваме. Определяме изходният параметър да е интересното нещо, което искаме да знаем. За тази функция изходящият ни параметър е токът

i

в резистора.

Входящото напрежение е приложено към двата малки кръга (кръговете показват входящия порт на функцията ни). Самата функция идва от резистора съгласно закона на Ом. Изходящият параметър на нашата функция ще е токът

i

, измерен от непоказан амперметър.

Представен като функция, резисторът ни е

i = f (v_{i}) = \frac{1}{R} v_{i}

Така представяме резистора като функция, която взима напрежението и го извежда като ток.

Един резистор е линейна функция

Разглеждайки резисторната функция, виждаме, че има способността да мащабира: изходящата стойност

i

е равна на входящата стойност

v

, умножена по константата

R

. Tова означава, че резисторът е линеен. Линейното свойство е това, което ни позволява да използваме суперпозиция, за да анализираме една верига.

(Припомни ми значението на линеарност.)

Използване на суперпозиция за анализ на верига

(Това е пример "играчка", за да ти даде представа за използването на суперпозиция.)

Да кажем, че на входа на нашата функция имаме две последователни напрежения:

На входа на функцията ни са две последователни батерии:

v_{i} = Vs1 + Vs2

Функцията е

f (v) = \frac{1}{R} v

Изходът на функцията не се е променил; пак е

i = f (v)

Сега ще анализираме веригата по два начина: първо чрез конвенционален анализ и после като използваме принципа на суперпозицията.

Конвенционално решение

За да решим по конвенционален начин, записваме уравнението на закона на Кирхоф за напрежението в затворения контур:

Vs1 + Vs2 - i R = 0

и намираме

i

i = f (Vs1 + Vs2) = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(конвенционално решение)

Решение с използване на принципа на суперпозицията

Принципът на суперпозицията се отнася за линейна функция

f

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Той гласи: Ако имаш две входящи елемента суперналожени,

(x_{1} + x_{2})

, можеш да приложиш входящите елементи един по един,

(x_{1})

последвано от

(x_{2})

и после събираме индивидуалните резултати, за да получим общия резултат.

Сега нека използваме принципа на суперпозицията, за да решим веригата. Тъй като моделирахме веригата като функция, можем да кажем:

i = f (Vs1 + Vs2)

е същото като

i = f (Vs1) + f (Vs2)

Това предлага интригуваща възможност. Според него можем да изчислим изходящия ток по конвенционалния начин, като приложим комбинирани входящи елементи

f (Vs1 + Vs2)

или можем да получим същия отговор, като изчислим функцията с единични входящи елементи

f (Vs1)

f (Vs2)

и съберем резултатите. Нека опитаме това и да видим какво се случва.

Потискане на входящи елементи

За да приложим принципа на суперпозиция, трябва да приложим входящите елементи един по един. Това означава, че трябва да изключим всички входящи елементи, освен един. Когато изключим един входящ елемент, казваме, че той е потиснат..

Какво означава да изключим източник на напрежение? Това означава, че поставяме

V = 0

. Това е същото нещо като да заменим източника на напрежение или батерията с верига накъсо.

Какво означава да изключим източник на ток? Означава, че поставяме

I = 0

. Това е същото като да заменим източника на тока с отворена верига.

Използване на принципа на суперпозиция

В следващите две схеми единият източник на напрежение е бил изключен (потиснат) чрез замяната му с верига накъсо.

Когато нулираме, или потиснем, входящ елемент, заменяме един от входящите елементи с

0

и позволяваме оставащият входящ елемент да блести сам по себе си.

f (Vs1 + 0) \to f (Vs1)

f (0 + Vs2) \to f (Vs2)

Ако функцията (веригата) има повече от два входящи елемента, оставяш само един входящ елемент, като потискаш всички други. Тоест, ако функцията има три входящи елемента, потискаш два едновременно и правиш това три пъти. Ако функцията е

o u t = f (i n_{1}, i n_{2}, i n_{3})

тогава оставяш

i n_{1}

, като потискаш

i n_{2}

i n_{3}

и т.н.:

o u t_{1} = f (i n_{1}; 0; 0)

o u t_{2} = f (0; i n_{2}; 0)

o u t_{3} = f (0; 0; i n_{3})

o u t = o u t_{1} + o u t_{2} + o u t_{3}

Сега решаваме всяка верига поотделно:

i_{1} = \frac{Vs1}{R} i_{2} = \frac{Vs2}{R}

където

i_{1}

е токът, дължащ се на източник

Vs 1

, а

i_{2}

е токът, дължащ се на източник

Vs 2

Общият ток е резултат от супернаслагване (събиране) на токовете от всички вериги.

i = i_{1} + i_{2}

i = \frac{Vs1}{R} + \frac{Vs2}{R}

i = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(решение със суперпозиция)

Виж! Решението с помощта на принципа на суперпозиция е същото като конвенционалното решение, получено по-горе.

Това, което имаме тук, се нарича линейна суперпозиция на две вериги.

Примерната ни функция беше толкова проста, че използването на суперпозиция не ни спести много усилия. В следващите примери веригите са по-сложни и разликата в усилията става по-явна.

Пример 1

Помисли за следните линейни вериги с два източника: един източник на ток и един източник на напрежение. Двата източника са входящите елементи за функцията. За тази задача искаме да намерим два изходящи елемента, токовете

i_{1}

i_{2}

i_{1} = f_{1} (Is; Vs)

i_{2} = f_{2} (Is; Vs)

Нека анализираме тази верига, като използваме суперпозиция.

Първо потискаме източника на тока и анализираме веригата само с източника на напрежение, действащ самостоятелно. За да потиснем източника на тока, го заменяме с отворена верига.

Само с източника на напрежение двата изходящи тока са:

i_{1 V} = 0 i_{2 V} = \frac{Vs}{R 2}

Където

i_{1 V}

i_{2 V}

са токовете в

R 1

R 2

, създадени от източника на напрежение.

След това възстановяваме източника на ток и потискаме източника на напрежение, за да изчислим приноса на източника на ток, действащ самостоятелно.

Само с източника на ток двата изходящи тока са:

i_{1 I} = Is i_{2 I} = 0

Където

i_{1 I}

i_{2 I}

са токовете в

R 1

R 2

, създадени от източника на ток.

Завършваме анализа, като събираме приносите от всеки източник:

i_{1} = i_{1 V} + i_{1 I} = 0 + Is = Is

i_{2} = i_{2 V} + i_{2 I} = \frac{Vs}{R 2} + 0 = \frac{Vs}{R 2}

Пълното решение изглежда така:

Това можеше да е сложен анализ, понеже двата източника затрудняват записването на уравненията за възела или за затворения контур. Използвахме принципа на суперпозиция, което ни даде по-прости вериги, с които да работим.

Пример 2

Конвенционално решение

За следната линейна верига нека изчислим изходящото напрежение

v

Ще го направим първо по конвенционалния начин. Записваме закона на Кирхоф за тока при изходящия възел

v

\begin{array}{ccc} + i_{R 1} & - i_{R 2} & + Is & = 0 \\ + \frac{Vs - v}{R1} & - \frac{v}{R2} & + Is & = 0 \end{array}

Преобразуваме, за да получим израз за

v

и събираме подобните членове вдясно:

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 R 2}{R 1 + R 2} Is

(конвенционално решение)

Решение с използване на принципа на суперпозиция

Сега ще решим същата задача, като използваме принципа на суперпозицията. Както преди, потискаме входящите източници и решаваме новите по-прости вериги.

Как ще потиснеш източника на тока?

Замести източника на тока с ___.

Веригата се свежда до два последователни резистора (разделител на напрежението).

Напрежението

v_{V s}

е приносът от източника на напрежение

Vs

Само с източника на напрежение изходящото напрежение е:

v_{V s} = Vs \frac{R 2}{R 1 + R 2}

Сега възстановяваме източника на тока и потискаме източника на напрежението.

Как ще потиснеш източника на напрежение?

Заменяш го с ___.

Веригата се свежда до два успоредни резистора.

Напрежението

v_{I s}

е приносът към изходящото напрежение от източника на тока

Is

v_{I s} = Is \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

Завършваме анализа с помощта на принципа на суперпозицията, като събираме приноса от двете напрежения. Както прогнозирахме, получихме същия резултат като при конвенционалното решение, показано по-горе.

v = v_{V s} + v_{I s}

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2} Is

(решение със суперпозиция)

Няма нужда от закръгляване. Решенията са точно еднакви. Ключовото нещо е да забележим, че с двете по-прости вериги е нужна значително по-малко работа за анализиране.

Линеарността и суперпозицията са полезни инструменти

Ако имаш верига, изградена от линейни елементи, можеш да използваш принципа на суперпозицията. Това означава, че оригиналната сложна верига може да се представи като опростени вериги, които стоят едни върху други. Изглежда като магия, но това свойство означава, че припокриващите се входящи елементи и суперналожените вериги не се повлияват едни други и не си взаимодействат. Всяка проста ел. верига е в блажено неведение за другите, докато не направиш крайното събиране.

Това е удивително свойство на линейните вериги и е една от причината толкова много да обичаме линеарността. Вериги, които не са линейни (нелинеарни вериги), нямат това свойство и не може да се приложи суперпозицията. (Но не се тревожи, обичаме и нелинеарните вериги, просто по различен начин.)

Обобщение

Ако веригата е изградена от линейни елементи, можем да използваме суперпозицията, за да опростим анализа. Това е особено полезно за вериги с множество входящи източници.

За да анализираш линейна верига с множество входящи елементи, потискаш всички входящи елементи или източници, освен един, и анализираш получаващата се по-проста верига. Повтаряш за всички входящи елементи и източници. После събираш резултатите, за да намериш общия отговор за пълната верига.

Потискане на източници

За да потиснеш източник на напрежение, замени го с верига накъсо:

За да потиснеш източник на тока, замени го с отворена верига:

Тази статия надгражда бележките по курса за класа на MIT 6,071 OpenCourseWare: Въведение в електрониката, сигналите и измерванията, преподаден от професор Дейвид Кори, професор Иън Хътчинсън (Лектор) и професор Манос Чаниотакис през пролетта на 2006. Лиценз CC BY-NC-SA 4,0.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.