Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Брой необходими уравнения

Отговор на въпроса "Колко уравнения са нужни, за да решим една електрическа верига и откъде идват те?" Създадено от Уили Макалистър

Въведение

"Линеен анализ на електрическа верига" означава решаване на система от уравнения.

Откъде знаем броя уравнения, необходими за решаване на верига?
Откъде знаем, че можем да ги съставим?

Докато изучаваш аналитичните методи за линеен анализ на електрическите вериги, може да ти се стори, че е чист късмет или съвпадение, че получаваш точния брой уравнения, които да решиш. Тази статия ще ти покаже, че изобщо не е въпрос на късмет, а аналитичните методи отлично улавят всички ограничения, необходими за анализа на веригата.

Основни идеи

За да анализираме една верига, искаме да знаем напрежението и тока за всеки елемент. Това означава, че ни трябват два пъти повече независими уравнения, отколкото са елементите във веригата.

Тези уравнения идват от три места:

Получаваш половината от уравненията от законите за елементите за всеки компонент.
Законът на Кирхоф за тока допринася $N - 1$ ‍ независими уравнения, където $N$ ‍ е броят възли.
Законът на Кирхоф за напрежението допринася $E - (N - 1)$ ‍ независими уравнения, където $E$ ‍ е броят елементи.

Като събереш тези заедно, получаваш точния брой уравнения.

Резултатите, които развихме тук, са вложени в различните методи за анализ на ел. верига:

Директно приложение на фундаменталните закони (Законът на Ом и законите на Кирхоф).
Методът на възловите напрежения
Методът на кръговите токове и близкият му роднина, методът на контурните токове

Не е проблем да прескочиш направо на самите методи и да се върнеш тук по-късно.

От колко независими уравнения имаме нужда, за да решим една верига?

Това е ключовият въпрос, който определя количеството усилие, необходимо за завършване на анализа на веригата. Ще ти покажа как уравненията идват от две места: елементите на веригата и как елементите на веригата са свързани един с друг.

Трите ограничения върху тока и напреженията в една верига са:

законите за тока и напрежението ( $i$ ‍- $v$ ‍) за елементите
Законът на Кирхоф за тока
Законът на Кирхоф за напрежението

Системата уравнения, която записваш, улавя тези ограничения.

Докато обсъждаме това в абстрактни краски, ще видим и един конкретен пример с ел. верига.

Както научихме по време на решаване на система уравнения по алгебра, броят независими уравнения, които ти трябват, за да решиш една система, е равен на броя неизвестни променливи. Тоест, ако имаш система с

10

неизвестни, имаш нужда от

10

уравнения, за да намериш

10

-те неизвестни. Колко неизвестни има една верига? Всеки елемент с два извода допринася неизвестно напрежение и неизвестен ток. Тоест

E

елементи допринасят

2 E

уравнения. Следователно:

Решаване на верига с $E$ ‍ елемента изисква система от $2 E$ ‍ независими уравнения.

Проверка на концепциите

Виж дали можеш да отговориш на тези въпроси за примерната ни верига.

Колко елемента има във веригата?

E =

елемента

Колко възела има веригата?

N =

възела

Колко затворени контура има веригата?

затворени контура

Колко от тези затворени контури са прости затворени контури?

прости затворени контура

Колко уравнения трябва да съставим, за да решим тази верига?

уравнения

Откъде идват $2 E$ ‍ уравнения?

Отговор: Половината от уравненията идват от отделните елементи. Другата половина идват от законите на Кирхоф за тока и напрежението.

Половината уравнения идват от законите на елементите

Представи си несвързани компонентите на веригата, разпръснати на масата.

Всеки елемент има неизвестни ток и напрежение:

Всеки елемент донася едно

i

v

уравнение. Предпочитам да си представям елементите на веригата като малки късчета математика.

Тези

i

v

връзки представляват

E

независими уравнения, половината от общо изискваните.

Откъде идват оставащите $E$ ‍ уравнения?

Оставащите

E

уравнения идват от ограниченията, наложени от веригата. Връзките на веригата се свързват заедно и ограничават напреженията и токовете на отделните елементи. Можем да развием

E

уравнения за връзките, като използваме закона на Кирхоф за тока (KCL) и закона на Кирхоф за напрежението (KVL).

Да кажем, че една верига има

E

елемента и

N

възела.

Елемент и клон означават почти едно и също в анализа на ел. вериги. Всеки елемент с

2

извода (резистор, кондензатор, индуктор, източник или друг компонент с

2

извода) допринася един клон към веригата. Клон е математичекият термин за път, свързващ два възела. Когато говорим за една верига като графика, често използваме термините възел и клон, за да опишем кръстовищата и пътищата на графиката. В тази статия ще се придържам към

E

като името на променливата за броя елементи/клонове.

Нашата примерна верига има

E = 5

елемента (клона) и

N = 3

възела. Също знаем, че веригата има

6

затворени контура,

3

от които са прости затворени контури.

Наличието на

3

възела и

6

затворени контура дава много възможности за намиране на още

E = 5

уравнения, но трябва да внимаваме. Уравненията, които генерираме, трябва да са независими едно от друго.

Какво е независимо уравнение?

Едно уравнение е линейно независимо, ако не може да бъде изведено от линейни комбинации на други уравнения в системата. Линейни комбинации са всяка поредица от събиране, изваждане и умножаване по константа. Използваш тези действия, за да комбинираш уравнения, докато опитваш да изведеш оставащото уравнение.

Колко независими уравнения идват от закона на Кирхоф за тока?

Можем да запишем уравнения от закона на Кирхоф за тока при всеки възел във веригата, генерирайки

N

уравнения. НО всички

N

уравнения не са независими. Едно уравнение е повтарящо се. Винаги е възможно всяко уравнение от закона на Кирхоф за тока да бъде изведено от всички останали. Винаги има едно зависимо уравнение, което не допринася нова информация, така че не е необходимо.

За всяка верига пълният набор възлови уравнения от закона на Кирхоф за тока съдържа едно линейно зависимо уравнение. Линейно зависимо означава, че е възможно да комбинираме другите възлови уравнения, като използваме линейни операции (събиране, изваждане и умножаване по константа), за да изведем оставащото уравнение.

Това изображение показва примерната ни верига и отбелязвания на възлите и токовете. Нека запишем възловите уравнения за закона на Кирхоф за тока и да демонстрираме линейна зависимост между тях.

Закон на Кирхоф за тока за възел

a

+ i_{1} - i_{1} = 0

Закон на Кирхоф за тока за възел

b

+ i_{1} - i_{2} - i_{3} + i_{S} = 0

Закон на Кирхоф за тока за възел

c

- i_{1} + i_{2} + i_{3} - i_{S} = 0

Уравнението за възел

a

е тривиално, понеже има един навлизащ ток и един излизащ ток.

Ключовата идея е, че уравнението от закона на Кирхоф за тока за възел

b

може да се използва за извеждане на уравнението за възел

c

, като се умножи по

- 1

. Умножаването по константа

(- 1)

е една от линейните трансформации, които можем да използваме, за да демонстрираме линейна зависимост. Или уравнението на възел

b

, или уравнението на възел

c

е повтарящо се и може да бъде използвано от системата уравнения. Обичайната практика е да изпуснем уравнението от закона на Кирхоф за тока за заземителния възел, в този пример, възел

c

. Примерната ни верига е особено проста, но това се случва във всички вериги. Едно възлово уравнение от закона на Кирхоф за тока винаги се изпуска.

Успяваме да запишем само

N - 1

независими уравнения, като използваме закона на Кирхоф за тока. Възелът, който изпускаме, е избор, който свободно можем да направим. Обикновено ще изпуснем заземителния възел, понеже той е най-сложният (има най-голям брой връзки).

Обобщение: Законът на Кирхоф за тока допринася

N - 1

независими уравнения.

Значи ни трябват още

E - (N - 1)

уравнения.

Колко независими уравнения идват от закона на Кирхоф за напрежението?

След като запишем

N - 1

уравнения, като използваме закона на Кирхоф за тока, трябва да намерим още

E - (N - 1)

уравнения. В нашата примерна верига трябва да намерим още

5 - (3 - 1) = 3

уравнения. Откъде ще дойдат? Те идват от използването на закона на Кирхоф за напрежението около затворените контури на веригата.

Теорията на графите ни казва две чудесни неща:

Законът на Кирхоф за напрежението произвежда точния брой независими уравнения, $E - (N - 1)$ ‍.
$E - (N - 1)$ ‍ е същото нещо като броя на простите затворени контури.

Тоест лесен начин да знаеш изисквания брой уравнения на закона на Кирхоф за напрежението е да преброиш простите затворени контури.

Законът на Кирхоф за напрежението ще произведе

E - (N - 1)

уравнения за всеки вид верига, но можем да използваме простите затворени контури, само ако веригата е равнинна.

Равнинна верига е такава, която може да бъде начертана в една равнина без пресичащи се проводници. Ако веригата не може да бъде начертана в една равнина без пресичащи се проводници, тя е неравнинна. Нашата примерна верига е равнинна, както са повечето вериги, които ще трябва да анализираш на ръка.

Статията, описваща метода на кръговите токове, показва как да се справим с неравнинни вериги.

Примерната ни верига има

3

прости затворени контура, така че веднага знаем, че трябва да запишем

3

уравнения от закона на Кирхоф за напрежението; нито повече, нито по-малко. Веригата ни има

6

контура (включително

3

-те прости затворени контури), така че има много възможности да съставим уравненията, които ни трябват.

Да се уверим, че уравненията от закона на Кирхоф за напрежението са независими

Искаме уравненията от закона на Кирхоф за напрежението да са независими. Как правим това?

Най-просто: Ако се ограничим до записването на уравнения от закона на Кирхоф за напрежението само за простите затворени контури:

Гарантирано е, че простите затворени контури ще произведат независими уравнения.

Ако искаме (или трябва) да включим уравнения от сложни контури, трябва да внимаваме повече да са независими. Един начин да се уверим, че един затворен контур е независим, е да:

се уверим, че всеки затворен контур включва един елемент, който не е в никой друг затворен контур.

За примерната ни верига трябва да измислим

3

независими уравнения на закона на Кирхоф за тока, избирайки от

6

-те налични затворени контура. Нека разгледаме диаграмата на контурите:

Ако изберем трите прости затворени контура

I

II

III

, печелим! Простите затворени контури произвеждат точния брой уравнения и е гарантирано, че са независими. Това е много полезно, тъй като е лесно да идентифицираш простите затворени контури. Това е основата на метода на на кръговите токове.

Друг валиден набор затворени контури от примерната ни верига ще са контури

IV

V

VI

. Защо това може да е добър набор?

Има $3$ ‍ уравнения, както се изисква от $E - (N - 1) = 3$ ‍.
Всеки елемент е включен в един затворен контур.

Някои набори контури не изпълняват условията: Можеш ли да кажеш защо?

$I$ ‍, $V$ ‍ и $VI$ ‍
$IV$ ‍ и $V$ ‍
Този набор произвежда само $2$ ‍ уравнения, а се изискват $3$ ‍. Това е вярно, въпреки че затворените контури заедно преминават през всеки елемент. Пак ти трябват $3$ ‍ уравнения, за да опишеш/ограничиш напълно веригата. Затова добрият набор, описан по-горе, върши работа: $IV$ ‍, $V$ ‍ и $VI$ ‍.
$I$ ‍, $II$ ‍, $III$ ‍ и $VI$ ‍
Можеш да получиш отговора с $4$ ‍ затворени контура, но това е повече, отколкото ти трябва. $4$ ‍ надвишава броя изисквани уравнения, $E - (N - 1) = 3$ ‍. Това означава, че едно от уравненията е линейно зависимо от другите и може да бъде изпуснато.

Записването на уравнения от закона на Кирхоф за тока за сложни затворени контури изисква допълнително внимание, но понякога може да искаш да използваш затворен контур или да е необходимо. Не се дърпай от използването на сложни затворени контури, просто внимавай с тях.

Обобщение

Има три ограничения, поставени върху токовете и напреженията в една верига:

законите за тока и напрежението ( $i$ ‍- $v$ ‍) за елементите
Законът на Кирхоф за тока
Законът на Кирхоф за напрежението

Системата уравнения, която записваш, улавя тези ограничения.

За верига с

E

елемента и

N

възела:

Трябват ти:
- $2 E$ ‍ независими уравнения, за да решиш веригата.
Получаваш:
- $E$ ‍ уравнения от законите за елементите за всеки компонент (закона на Ом и подобните).
- $N - 1$ ‍ независими възлови уравнения, като използваш закона на Кирхоф за тока.
- $E - (N - 1)$ ‍ независими контурни уравнения, като използваш закона на Кирхоф за напрежението.
$E - (N - 1)$ ‍ е същото като броя на простите затворени контури, така че лесен начин да откриеш точния брой уравнения от закона на Кирхоф за напрежението е де преброиш простите затворени контури.
Записването на уравненията от закона на Кирхоф за напрежението за простите затворени контури гарантира точния брой независими уравнения от закона на Кирхоф за напрежението.
Ако включиш сложни затворени контури, ако всеки затворен контур има поне един елемент, който не е включен в никой друг контур, той гарантирано е независим.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Въведение

Основни идеи

От колко независими уравнения имаме нужда, за да решим една верига?

Проверка на концепциите

Откъде идват 2E‍ уравнения?

Половината уравнения идват от законите на елементите

Откъде идват оставащите E‍ уравнения?

Какво е независимо уравнение?

Колко независими уравнения идват от закона на Кирхоф за тока?

Колко независими уравнения идват от закона на Кирхоф за напрежението?

Да се уверим, че уравненията от закона на Кирхоф за напрежението са независими

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Откъде идват $2 E$ ‍ уравнения?

Откъде идват оставащите $E$ ‍ уравнения?