Основно съдържание

Курс: Диференциално смятане > Раздел 5

Урок 1: Теорема за крайните нараствания (теорема на Лагранж)

Установяване на диференцируемост за ТКН

Теоремата за крайните нараствания се отнася само за диференцируеми функции. Научи защо това е така и как да проверяваш дали можеш да я прилагаш в конкретни ситуации.

Теоремата на Лагранж за крайните нараствания (ТКН) е теорема за съществуване, подобна на теоремата на Болцано за междинните стойности и теоремата на Вайерщрас за екстремалните стойности (ТМС и ТЕС)

ТКН и нейните условия

Теоремата за крайните нараствания гарантира, че за всяка функция

f

, която е диференцируема в интервал от

a

до

b

, съществува число

c

в този интервал, такова че

f^{'} (c)

е равно на средната скорост на изменение на функцията за този интервал.

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Графично погледнато, теоремата гарантира, че крива между две крайни точки съдържа точка, такава, че допирателната в тази точка е успоредна на секущата права през краищата.

Точните усповия, при които ТКН важи са

f

да бъде диференцируема в отворения интервал

(a, b)

и непрекъсната в затворения интервал

[a, b]

. Тъй като непрекъснатостта следва от диференцируемостта, можем да изкажем условието и така: функцията да бъде диференцируема в

(a, b)

и непрекъсната в

x = a

x = b

За да бъдем математически прецизни, трябва да използваме параметри като

a

b

, но същността на тези условия е следната:

За да важи теоремата за крайните нараствания, функцията трябва да бъде диференцируема в даден отворен интервал и да бъде непрекъсната в краищата му.

Защо диференцируемостта в интервала е важна.

За да разберем защо това условие е важно, да разгледаме функцията

f

. Функцията има остър завой (ръб) между

x = a

x = b

, така че не е диференцируема в

(a, b)

Наистина, функцията има само две възможни допирателни, никоя от които не е успоредна на секущата между

x = a

x = b

Защо непрекъснатостта в краищата е важна.

За да разберем това, да разгледаме функцията

g

Ако

g

е диференцируема в

(a, b)

и непрекъсната в

x = a

x = b

, ТКН важи.

Сега нека променим

g

, така че да не е непрекъсната в

x = b

. С други думи, лявата граница

lim_{x \to b^{-}} g (x)

b

си остава същата, но стойността на функцията в

b

е променена.

Забележи как всички възможни допирателни в разглеждания интервал са нарастващи, а секущата е намаляваща. Така че няма допирателна, успоредна на секущата.

В общия случай, ако една функция не е непрекъсната в крайните точки, секущата няма да бъде свързана с допирателните в този интервал.

В първата група задачи, ще анализираме приложимостта на теоремата за крайните нараствания за функция

f

в различни интервали.

Задача 1.а

ТКН отнася ли се за $h$ ‍ в интервала $[- 5, - 1]$ ‍?

Задача 2

Графиката на

f

има вертикална допирателна при

x = 2

ТКН отнася ли се за $f$ ‍ в интервала $[- 1, 5]$ ‍?

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Забележи: Когато условията на ТКН не са изпълнени, можем да кажем само, че не сме сигурни дали следствието е вярно. Не можем да твърдим, че следствието не е вярно.

С други думи, възможно е да има точка, допирателната в която е успоредна на секущата, дори условията на ТКН да не са изпълнени. Просто не можем да сме сигурни, щом условията на ТКН не са изпълнени.

Например в последната задача условията на ТКН не бяха изпълнени за

f

в интервала

[- 1, 5]

, а всъщност имаше две точки в интервала

[- 1, 5]

, допирателните в които са успоредни на секущата между

- 1

5

Задача 3

В таблицата са дадени няколко стойности на функцията

h

$x$ ‍	$3$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍	$11$ ‍
$h (x)$ ‍	$1$ ‍	$5$ ‍	$- 2$ ‍	$- 6$ ‍

Джеймс каза, че понеже

\frac{h (7) - h (3)}{7 - 3} = 1

, трябва да има число

c

в интервала

[3, 7]

, за което

h^{'} (c) = 1

Кое условие прави твърдението на Джеймс вярно?

(Избор А)
$h$ ‍ е непрекъсната в затворения интервал $[3, 7]$ ‍.
(Избор Б)
$h$ ‍ е непрекъсната и намаляваща в затворения интервал $[3, 7]$ ‍.
(Избор В)
$h$ ‍ е диференцируема над затворения интервал $[3, 7]$ ‍.
(Избор Г)
$lim_{x \to 5} h^{'} (x) = 1$ ‍

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: Да не разпознаваме кога условията са изпълнени

Да вземем, например, задача 3. Това са стандартните начини, по които бихме очаквали условията да изглеждат:

$h$ ‍ е диференцируема в $(3, 7)$ ‍ и непрекъсната в $[3, 7]$ ‍.
$h$ ‍ е диференцируема в $(3, 7)$ ‍ и непрекъсната в $x = 3$ ‍ и $x = 7$ ‍.

Обаче не винаги ще ни бъде дадена информация за функцията по този начин. Например, ако

h

е диференцируема в

[3, 7]

, условията са изпълнени, защото диференцируемостта гарантира непрекъснатост.

Друг пример е когато

h

е диференцируема над по-голям интервал, например

(2, 8)

. Въпреки, че за непрекъснатостта не е изрично спомената, диференцируемостта в

(2, 8)

гарантира диференцируемост в

(3, 7)

и непрекъснатост в

[3, 7]

Задача 4

f

е диференцируема функция.

f (1) = - 2

f (5) = 2

Свържи всяко заключение със съответстващата му теорема за съществуване.

1

Често срещана грешка: Прилагане на неподходяща теорема за същствуване

Вече сме запознати с три различни теореми за съществуване: теоремата на Болцано за междинните стойности (ТМС), теоремата на Вайерщрас за екстремалните стойности (ТЕС) и теоремата на Лагранж за крайните нараствания (ТКН). Те имат сходна структура, но важат при различни условия и гарантират съществуването на точки с различни свойства.

ТМС гарантира точка, в която функцията има определена стойност между две стойности.
ТЕС гарантира точка, в която функцията има максимална или минимална стойност.
ТКН гарантира точка, в която производната има определена стойност.

Преди да прилагаш някоя от теоремите за съществуване се убеди, че достатъчно добре си разбрал задачата, за да знаеш коя теорема трябва да се приложи.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.